精品解析：安徽省合肥市庐江县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024/2025学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的文化底蕴和审美情趣．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，找出对称中心是解题的关键． 在平面内，如果一个图形绕着某个点旋转1后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据中心对称图形的定义，找出对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据点关于原点对称的点的坐标为，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是， 故选：C ． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 心想事成，完美 B. 煮熟的鸭子，飞了 C. 瞄准射击，打中 D. 一天24小时，永恒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件的概念是解题的关键． 必然事件指在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、心想事成，完美，是随机事件，不符合题意； B、煮熟的鸭子，飞了，是不可能事件，不符合题意； C、瞄准射击，打中，是随机事件，不符合题意； D、一天24小时，永恒，是必然事件，符合题意； 故选：D ． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点C在y轴上， ∴点C到的距离为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质． 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 7. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 设门对角线长为尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：∵设门对角线长为尺， ∴竿的长度为尺，门高为尺，门宽为尺， 根据题意得：， 故选：A． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 10. 如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据旋转的性质，等边对等角得到，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵边绕点逆时针旋转一定角度得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是方程的根，则代数式的值是_____． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的概念及计算是解题的关键． 根据题意可得，，将代数式变形得，代入计算即可求解． 【详解】解：若是方程的根， ∴，则， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 12. 为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画”、“陶艺”3个社团供学生选择．甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概念，掌握列表法活画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下，“剪纸”、“木版画”、“陶艺”分别用表示， 共有9种等可能结果，其中甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的有3种结果， ∴他们刚好选到相同社团的概率是， 故答案为： ． 13. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，由（是扇形的弧长，是扇形所对圆心角的度数，为扇形半径）可得扇形半径为，再根据扇形面积即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，且扇形的圆心角的度数是， ∴扇形半径为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为： ． 14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，． （1）当时，的长为_____； （2）在滑动过程中，的最大值是_____． 【答案】 ①. 3 ②. 3 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （2）如图所示，延长交于点，连接， ∵，是直径， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当为直径时，即，的值最大，则的值最大， ∴的最大值是； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：(x+1)2=3(x+1) 【答案】x1=-1，x2=2． 【解析】 【分析】把右边的项移到左边，然后提公因式法因式分解，求出方程的两个根． 【详解】解：(x+1)2-3(x+1)=0， (x+1)(x-2)=0， ∴x+1=0，x-2=0， 解得x1=-1，x2=2． 【点睛】本题考查的是用因式分解法解方程，把右边的项移到左边后，可以用提公因式的方法进行因式分解，求出方程的两个根． 16. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明． 【答案】 是的垂直平分线 证明：连接， 由绕点顺时针旋转一定角度所得， ，，． ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． ， ， 又， 为等边三角形，即． 又， 是的垂直平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的判定定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，证明是等边三角形，进而证明，等边三角形，得出，结合，即可得证． 【详解】略 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A、B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用图象求不等式的解集： （1）将代入求出点A坐标，再代入即可求解； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 解得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 观察函数图象，发现：当-或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 18. 如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹． （1）以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接； （2）作于； （3）将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于． 【答案】（1） 如图： （2）如上图， （3）如上图所示； 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题． （1）根据旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求； （3）取点，使得，取格点，作射线（目的使得旋转角），取格点，连接交于点（目的使得），即为所求． 【小问1详解】 解：根据旋转变换的性质，在网格中取格点，连接线段， ． 【小问2详解】 解：取格点，，连接交于点，连接， 根据网格知识，， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：取点，使得，取格点，作射线，则，取格点，连接交于点，即，则即为所求． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生需选择一种且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中_____，_____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度； （3）根据调查结果，小明同学判定全校有30%的同学喜欢打篮球，有40%的同学喜欢打乒乓球．对此，你同意小明的说法吗？说说你的理由． 【答案】（1）， 补全图形如下， （2），， （3）不同意小明的说法， 理由如下， 九（1）班的学生人数为人，有的同学喜欢打篮球，有的同学喜欢打乒乓球，本次抽样调查的数据较少，不具有代表性， ∴不能用九（1）班的学生的情况代表学校情况． 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握根据样本百分比估算总体数量，某项百分比的计算，圆心角的计算，由调查数据做决策的方法是解题的关键． （1）根据篮球的人数与占比得到抽样调查的人数，再得到足球的人数即可求解； （2）根据某项百分比，圆心角的计算方法计算即可； （3）根据调查数据作结论即可． 【小问1详解】 解：篮球的有12人，占比， ∴（人）， ∴九（1）班的学生人数为人， ∴足球的人数为（人）， 【小问2详解】 解：九（1）班的学生人数为人，排球的有人， ∴，即， 足球的有人， ∴，即， ∴， 故答案为：，，； 【小问3详解】 略 20. 如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ． ， ． 又为的直径， 是的切线． （2） 证明：如图1，连接， ，是的直径， ，， ， 即． 又， ． 四边形是菱形， ， 则， ，． 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线； （2）连接，首先得到，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆与四边形综合题，切线的判定，圆周角定理，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 七、（本题满分12分） 22. 数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 【答案】 （1）解：，， ， ∴是等边三角形． （2）解：，理由如下： 在上截取，如图： ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，，再根据三角形内角和定理得到，结合等边三角形的定义即可求解； （2）在上截取，可得为等边三角形，再证，得到，由此即可求解； （3）点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小，如图，连接，过点作于点，过点作于点，可得，，，在Rt中由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵点是的中点， 点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， 等边是的内接正三角形， 平分，平分， ， 的半径为2， ， ，，， ，，， ， 在Rt中，， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 八、（本题满分 14 分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为，． 【小问1详解】 把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 过作轴交于，如图： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值4， 此时的坐标为； 【小问3详解】 直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 由，得直线函数表达式为， 联立，解得或， 的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的文化底蕴和审美情趣．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 心想事成，完美 B. 煮熟的鸭子，飞了 C. 瞄准射击，打中 D. 一天24小时，永恒 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是方程的根，则代数式的值是_____． 12. 为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画”、“陶艺”3个社团供学生选择．甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是_____． 13. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，． （1）当时，的长为_____； （2）在滑动过程中，的最大值是_____． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：(x+1)2=3(x+1) 16. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A、B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集． 18. 如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹． （1）以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接； （2）作于； （3）将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生需选择一种且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中_____，_____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度； （3）根据调查结果，小明同学判定全校有30%的同学喜欢打篮球，有40%的同学喜欢打乒乓球．对此，你同意小明的说法吗？说说你的理由． 20. 如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 七、（本题满分12分） 22. 数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 八、（本题满分 14 分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $