重难点02 相似三角形常见几何模型综合训练（7大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

重难点02 相似三角形常见几何模型综合训练 中考数学中《相似三角形七大几何模型综合训练》部分主要考向分为七类： 一、“A”字型 二、“8”字型 3、 反“A”字型 四、“k”字型 五、射影定理 六、“共边”模型 七、“十字架”模型 相似三角形是四川中考数学中常考的几何题型，很多考生往往不知道从哪里入手，本小节内容主要是讲解相似三角形中常见的七大几何模型，引导学生进行分析，克服对几何题的恐惧。 考向一：“A”字型 相似三角形几何模型之“A”字模型 已知DE∥BC，则△ADE∽△ABC，比例线段：，=。 ①直接求解：当题目中出现平行和现成的“A”字型时，我们可以利用求“A”字型的方法直接求解。 ②间接求解：若题目中没有出现平行，则需要我们自己做辅助线求解。如图所示 1．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为△AOB的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点纵坐标分别为1、3， ∴， ∴， 解得：， ∴点的纵坐标为6，故C正确． 故答案为：6． 2．（2024·四川绵阳·三模）如图△ABC中，，，若，，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作于点F， 则， 设，则，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， △BEC的面积是△ADE面积的10倍， ， 即， 整理得， 解得（舍），， 经检验，是原方程的解， ，， 由勾股定理得， 故选C． 3．（2024·四川宜宾·一模）如图，在矩形中，为对角线，点关于的对称点为点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵点关于的对称点为点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是△ABC的中位线， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024·四川成都·二模）如图，D，E分别是△ABC的边，上的点，若，，，，则的长度为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：C． 5．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为 ．    【答案】3 【详解】解：设的长为x， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：3． 6．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线， ∴点E是的中点， ∴是△ABC的中线， 又∵是△ABC的中线，且与交于点F， ∴点F是△ABC的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长∶四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 9．（2024·四川绵阳·一模）如图，在△ABC中，是高，E是上一点，交于点F，且，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作于点H，过点F作于点G， 设，则，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，． ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 10．（2024·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    【答案】/ 【详解】解：过点B作交于H， ∴ ∴，    ∵，E是边上的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ． 【答案】 【详解】解：过点E作交于G，过点G作于H，如下图所示： 设，正方形的边长为，，其中， ，， ， 四边形为正方形，， 又， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 整理得∶， 依题意得关于x的方程有两个实数根 根的判别式 ， 将上式两边同时除以，得：， 整理得：， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 考向二：“8”字型 相似三角形几何模型之“8”字模型 ①对于平行（AB∥DE）类型的“8”字型模型：△ABC∽△CDE 比例关系：； ②对于非平行（∠B=∠E）类型的“8”字型模型：△ABC∽△CDE 比例关系：； 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 2．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：如图，交于点， ∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， ∵， 由①②得， 解得，则， 在中，， ∵， ∴，即， 故答案为：A． 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 4．（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：C． 5．（2023·四川巴中·中考真题）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，      ∵D、E分别为中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 7．（2024·四川泸州·一模）如图，在边长为4的正方形中，E，F分别在边，，相交于点G，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图, 延长交于点, ∵四边形是正方形， ∴, ∵, ∴, ∵, ， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在和中, ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B. 8．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    【答案】 【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，    ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 10．（2023·四川泸州·中考真题）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．    【答案】 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，    由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值， 设正方形的边长为a，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：． 考向三：反“A”字型 相似三角形几何模型之反“A”字模型（特点：共角） ①如图1所示：已知∠AED=∠ACB，则△ADE∽△ABC，线段比例关系：； ②如图2所示：已知∠ABD=∠ACB，则△ABD∽△ACB，线段比例关系：； ③如图3所示：△ADE∽△ABC，线段比例关系：； 1．（2024·四川内江·一模）如图，在矩形ABCD中，，点为对角线的中点，，交于点，点是对角线上的动点，的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点，如图， 在中，，， ∴ ∵点为对角线的中点， ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴即点F在上， 连接，交于点，连接， ∴当点三点共线时，的值最小，为的长， ∵ ∴， ∴ ∴, ∴ 在中，， ∴的最小值为， 故选：B 2．（2024·四川巴中·二模）如图，在△ABC中，点，分别在边，上，且，则下列各式中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 故选：． 3．（2024·四川自贡·一模）如图，在△ABC中，，D是上一点，于E，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在△ABC中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故选：B． 4．（2024·四川成都·一模）如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上取点G，使，连接，， ∵翻折， ∴， 又， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 当D、F、G三点共线时，最小， 在中，，，， ∴， 即的的最小值为． 故答案为：． 5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在△ABC的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为3 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 8．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 考向四：“k”字型 相似三角形几何模型之“k”字模型（也称为“一线三等角”）在四川中考中常考直角型 ①锐角型K字：已知∠1=∠2=∠3 则△ABC∽△CED， 证明：∵∠ACD=∠2+∠A，∠ACD=∠1+∠ECD，∠1=∠2 ∴∠A=∠ECD 又∵∠2=∠3 ∴△ABC∽△CED。 ②钝角型K字和直角型K字证明（同上） 结论：BC×CD=AB×ED（即底×底=腰×腰） 1．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 2．（2024·四川达州·一模）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、都落在点处，且点、、在同一条直线上，点、、在另一条直线上．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理可得：， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 3．（2024·四川乐山·一模）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：在正方形正方形中， ，， ∴， 又∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在正方形正方形中，， ∴， ∴，即：， ∴， 又∵点M，N分别是和的中点， ∴， 故选A． 4．（2024·四川巴中·一模）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、， ∴ ∴ 点在反比例函数上，点在上， ∴，， 又∵， ∴ ， ， ∴， ∴， 故选：． 5．（2023·四川成都·二模）如图，点，，以为边作正方形，点E是边上一点，且，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点E作于点H， ∵点，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴点E的坐标为， 故选：A 6．（2024·四川凉山·一模）如图，点在矩形的边上，将△沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为（　　）    A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ，， 将矩形沿直线折叠， ，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， 在中，， ， 解得：，（舍， ， 故选：B． 7．（2024·四川内江·三模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（    ）． A． B． C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，连接，   四边形为矩形， ，，， 为中点， ， 由翻折知，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．（2024·四川巴中·一模）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 9．（2024·四川宜宾·二模）已知点、分别在反比例函数，的图象上，且，则为 ． 【答案】2 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∵点、分别在反比例函数，的图象上， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； 故答案为：2． 10．（2024·四川巴中·三模）如图，在△ABC中，D是延长线上一点，．在上有一点E，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作交的延长线于H． 在中， ，，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 考向五：射影定理 相似三角形几何模型之射影定理模型（也称共边共角字母型） 已知Rt△ABC中∠BAC=90°，过点A作AD⊥BC，垂足为D； 结论：△ABC∽△ABD∽△ADC 根据相似三角形的性质可得：①AD2=BD×DC；②AB2=BD×BC；③AC2=CD×CB 记忆方法：因线段比例太多、太复杂所以我已经标注出来如图 AB2=BD×BC AC2=CD×CB AD2=BD×DC 1．（2024·四川泸州·二模）如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 分别与相切与点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 2．（2024·四川雅安·二模）如图，是的直径，经过圆上点的直线恰使．过点作直线的垂线交的延长线于点，且，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ，，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 4．（2024·四川南充·二模）如图，△ABC内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴． ∴． 5．（2024·四川绵阳·三模）在中，，是斜边上的高， (1)求证：． (2)若，，则______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·四川广元·一模）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)的长为 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，， 在中，， 由（1）可知， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 7．（2023·四川绵阳·三模）如图，在中，将△ABC绕着点A逆时针方向旋转到的位置，点E恰好落在边上，与交于点M，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点C作交于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选D． 考向六：“共边”模型 相似三角形几何模型之“共边”模型 ①图1若∠C=∠DBA，则△ADB∽△ABC，结论：AB2=AD×AC； ②中一般有两种情况 （1）当BD时∠ABC的角平分线，∠ADB=∠DCB时，结论：BD2=BA×BC； （2）当∠A=∠BDC=90°时，∠ADB=∠DCB时，结论：BD2=BA×BC； 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设交于,如图， , , 将绕点按逆时针方向旋转得到, , , , , , , , , , , , , , 设,则, , , ,, , , , , 故答案为：. 2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为： 3．（2023·四川广元·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 4．（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ，， ， ． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意； 考向七：“十字架”模型 相似三角形几何模型之“十字架”模型 ①如图1所示，已知四边形ABCD是矩形，AE⊥BD，则其中存在多对相似三角形，例如：△ABO∽△AOD，△ABE∽△ABD，△AOD∽△BOD等等； 证明：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3 ∵∠AOD=∠AOB=90° ∴△ABO∽△ADO ②如图2所示，分别过点N、点F作NG⊥DC，FH⊥BC，可证得△NMG∽△FHE； ③延长AE、DC相较于点F，图中存在多对相似图形； 1．（2023·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，E是的中点，与交于点F，连接．若，则的长为（    ） A． B．6 C． D．7 【答案】B 【详解】解：如图，过点F作，交于点M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，，是原方程的解， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，于点F，，则的长度是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵于点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴. 故答案为：． 3．（2024·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，，以点C为圆心作与直线相切，点是上一个东点，连接交于点，则的最大值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于， 是矩形的对角线， ， ， ， ， 是的切线， 的半径为， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 要最大，则最大， 点是上的动点，是的切线， 最大为的直径，即：， 最大值为， 故选：D． 4．（2024·四川自贡·二模）如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交点为， ∵矩形， ∴，，，， ∵为的中点，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川南充·一模）矩形中，，是中点，于交于，连接，下列结论中正确的是 ①，②，③，④ 【答案】①②③④ 【详解】解：过点作交于点，交于点， 由， 设，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵是中点， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴即，， ∴垂直平分， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故结论③正确； ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 即，故结论④正确； ∴结论中正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 6．（2024·四川南充·二模）如图，在矩形中，，于点F．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 于点， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， 故②错误； 设，则， ，， ， ， ， ，， 故③正确； ，， ， ，， ， ， ， 故④正确， 故答案为：①③④． 7．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如图1中， 作点关于轴的对称点，连接， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 8．（2024·四川自贡·二模）（1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：． （2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， 故； 解：如图，延长，交于点， 设， 在中，， ， 解得， ， ，， 故， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ． 的长为． 9．（2023·四川成都·一模）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：； （2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点； ①若，且，，求与的长； ②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或．如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，；②的最大值为2， 【详解】（1）证明：在正方形中， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：①作于，作于， 由折叠性质可得： 由（1）同理可得 ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， ，， ， ，， 又， ， ， ，； ②设，，则， 在中，， ∴， ， ， 设， ，， ， ∴， ∴， 化简得， 由，即， 或， （舍或， 的最大值为2，此时， ， ， 由①得，， ∴． （建议用时：90分钟） 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，，    ∵，，， ∴， ∵以为直径的半圆与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴解得． 故选：B． 3．（2023·四川巴中·一模）如图，在△ABC中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，，分别平分，，且相交于点F，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点D作于点H，过点F作于点G，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵分别平分，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【答案】 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，连接交于点，    ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 7．（2023·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，    ∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ∴联立，即， ∴解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴点C的坐标为， ∴将代入得，． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，D是边上任意一点，，若点N在上，，点M在上，，若，且，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴=， ∴． 故答案为：． 9．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）证明：∵△ABC是等边三角形，，， ∴， ∴ ∵△ABC是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 10．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 11．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)14 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线； （2）解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 12．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：，，． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴ （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去） ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 相似三角形常见几何模型综合训练 中考数学中《相似三角形七大几何模型综合训练》部分主要考向分为七类： 一、“A”字型 二、“8”字型 3、 反“A”字型 四、“k”字型 五、射影定理 六、“共边”模型 七、“十字架”模型 相似三角形是四川中考数学中常考的几何题型，很多考生往往不知道从哪里入手，本小节内容主要是讲解相似三角形中常见的七大几何模型，引导学生进行分析，克服对几何题的恐惧。 考向一：“A”字型 相似三角形几何模型之“A”字模型 已知DE∥BC，则△ADE∽△ABC，比例线段：，=。 ①直接求解：当题目中出现平行和现成的“A”字型时，我们可以利用求“A”字型的方法直接求解。 ②间接求解：若题目中没有出现平行，则需要我们自己做辅助线求解。如图所示 1．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为△AOB的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·四川绵阳·三模）如图△ABC中，，，若，，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·一模）如图，在矩形中，为对角线，点关于的对称点为点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·二模）如图，D，E分别是△ABC的边，上的点，若，，，，则的长度为（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为 ．    6．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．    7．（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川绵阳·一模）如图，在△ABC中，是高，E是上一点，交于点F，且，则的值是 ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    11．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ． 考向二：“8”字型 相似三角形几何模型之“8”字模型 ①对于平行（AB∥DE）类型的“8”字型模型：△ABC∽△CDE 比例关系：； ②对于非平行（∠B=∠E）类型的“8”字型模型：△ABC∽△CDE 比例关系：； 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 5．（2023·四川巴中·中考真题）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（    ） A． B．1 C． D． 7．（2024·四川泸州·一模）如图，在边长为4的正方形中，E，F分别在边，，相交于点G，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 9．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    10．（2023·四川泸州·中考真题）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．    考向三：反“A”字型 相似三角形几何模型之反“A”字模型（特点：共角） ①如图1所示：已知∠AED=∠ACB，则△ADE∽△ABC，线段比例关系：； ②如图2所示：已知∠ABD=∠ACB，则△ABD∽△ACB，线段比例关系：； ③如图3所示：△ADE∽△ABC，线段比例关系：； 1．（2024·四川内江·一模）如图，在矩形ABCD中，，点为对角线的中点，，交于点，点是对角线上的动点，的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024·四川巴中·二模）如图，在△ABC中，点，分别在边，上，且，则下列各式中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·四川自贡·一模）如图，在△ABC中，，D是上一点，于E，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 4．（2024·四川成都·一模）如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ． 5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在△ABC的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 8．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 考向四：“k”字型 相似三角形几何模型之“k”字模型（也称为“一线三等角”）在四川中考中常考直角型 ①锐角型K字：已知∠1=∠2=∠3 则△ABC∽△CED， 证明：∵∠ACD=∠2+∠A，∠ACD=∠1+∠ECD，∠1=∠2 ∴∠A=∠ECD 又∵∠2=∠3 ∴△ABC∽△CED。 ②钝角型K字和直角型K字证明（同上） 结论：BC×CD=AB×ED（即底×底=腰×腰） 1．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·一模）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、都落在点处，且点、、在同一条直线上，点、、在另一条直线上．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川乐山·一模）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·四川巴中·一模）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·二模）如图，点，，以为边作正方形，点E是边上一点，且，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川凉山·一模）如图，点在矩形的边上，将△沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为（　　）    A．9 B．10 C．12 D．15 7．（2024·四川内江·三模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（    ）． A． B． C．8 D．7 8．（2024·四川巴中·一模）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 9．（2024·四川宜宾·二模）已知点、分别在反比例函数，的图象上，且，则为 ． 10．（2024·四川巴中·三模）如图，在△ABC中，D是延长线上一点，．在上有一点E，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 考向五：射影定理 相似三角形几何模型之射影定理模型（也称共边共角字母型） 已知Rt△ABC中∠BAC=90°，过点A作AD⊥BC，垂足为D； 结论：△ABC∽△ABD∽△ADC 根据相似三角形的性质可得：①AD2=BD×DC；②AB2=BD×BC；③AC2=CD×CB 记忆方法：因线段比例太多、太复杂所以我已经标注出来如图 AB2=BD×BC AC2=CD×CB AD2=BD×DC 1．（2024·四川泸州·二模）如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·二模）如图，是的直径，经过圆上点的直线恰使．过点作直线的垂线交的延长线于点，且，，则线段的长为 ． 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2024·四川南充·二模）如图，△ABC内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．（2024·四川绵阳·三模）在中，，是斜边上的高， (1)求证：． (2)若，，则______． 6．（2024·四川广元·一模）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（2023·四川绵阳·三模）如图，在中，将△ABC绕着点A逆时针方向旋转到的位置，点E恰好落在边上，与交于点M，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 考向六：“共边”模型 相似三角形几何模型之“共边”模型 ①图1若∠C=∠DBA，则△ADB∽△ABC，结论：AB2=AD×AC； ②中一般有两种情况 （1）当BD时∠ABC的角平分线，∠ADB=∠DCB时，结论：BD2=BA×BC； （2）当∠A=∠BDC=90°时，∠ADB=∠DCB时，结论：BD2=BA×BC； 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 3．（2023·四川广元·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 4．（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，． (1)求证：； (2)若，，求． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 考向七：“十字架”模型 相似三角形几何模型之“十字架”模型 ①如图1所示，已知四边形ABCD是矩形，AE⊥BD，则其中存在多对相似三角形，例如：△ABO∽△AOD，△ABE∽△ABD，△AOD∽△BOD等等； 证明：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3 ∵∠AOD=∠AOB=90° ∴△ABO∽△ADO ②如图2所示，分别过点N、点F作NG⊥DC，FH⊥BC，可证得△NMG∽△FHE； ③延长AE、DC相较于点F，图中存在多对相似图形； 1．（2023·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，E是的中点，与交于点F，连接．若，则的长为（    ） A． B．6 C． D．7 2．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，于点F，，则的长度是 ． 3．（2024·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，，以点C为圆心作与直线相切，点是上一个东点，连接交于点，则的最大值是（   ） A． B． C． D．3 4．（2024·四川自贡·二模）如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为 ． 5．（2024·四川南充·一模）矩形中，，是中点，于交于，连接，下列结论中正确的是 ①，②，③，④ 6．（2024·四川南充·二模）如图，在矩形中，，于点F．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填写序号） 7．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为 ． 8．（2024·四川自贡·二模）（1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：． （2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，直接写出的长． 9．（2023·四川成都·一模）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：； （2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点； ①若，且，，求与的长； ②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或．如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长． （建议用时：90分钟） 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　）    A． B． C． D． 3．（2023·四川巴中·一模）如图，在△ABC中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，，分别平分，，且相交于点F，则的长为（　　）    A． B． C． D． 5．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．    7．（2023·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．    8．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，D是边上任意一点，，若点N在上，，点M在上，，若，且，则△ABC的面积为 ． 9．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 10．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    11．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 12．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$