精品解析：安徽省合肥一六八中学2024-2025学年高二下学期第一次检测数学试卷

合肥一六八中学高二（下）数学第一次检测 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则首项（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式，列出方程组，即可求得，进而可求得答案. 【详解】设等比数列的公比为q，则，解得， 所以. 故选：B 2. 已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的几何意义求得切线斜率从而得切线方程，即可求得结果． 【详解】当时，．因为为偶函数，故， 又，所以切线方程为，即， 故选：D． 3. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果. 4. 定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答. 【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减， 于是得函数在上单调递减，即，，即， 而在上单调递减，当时，，则， 所以k的取值范围是. 故选：B 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到. 【详解】由，得， 所以 ， 所以. 故选：A. 6. 在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可转化为函数与函数有两个焦点，进而可得参数范围. 【详解】解：由指对函数性质可知，可转化为函数与函数有二个不同交点， 当时，不合题意； 当时，，有两个解， 设函数，， ，令，解得， 所以函数在单调递增，则单调递减， 所以， 又， 且当时，， 所以， 故选：C. 7. 等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ） A. 若有最大值，则数列的公差小于0 B. 若，则使的最大的n为18 C. 若，，则中最大 D. 若，，则数列中的最小项是第9项 【答案】B 【解析】 【分析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC； ，得，， 可判断D. 【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项， ∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确； 对于选项B，∵，且， ∴，， ∴，， 则使的最大的n为17，故选项B错误； 对于选项C，∵，， ∴，， 故中最大，故选项C正确； 对于选项D，∵，， ∴，， 故数列中的最小项是第9项，故选项D正确. 故选：B. 8. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的为（ ） A. 数列也是等差数列 B. C. D. 13是数列中的项 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件结合等差数列的定义及通项公式即可判断. 【详解】由易知是等差数列，A正确； 由得， 所以，因为是等差数列，所以，B正确； 由，则，所以，即，若，则n不是整数，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 10. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】依据求导公式和导数四则运算去判断即可解决. 【详解】对于选项A，∵，∴选项A正确； 对于选项B，，令，则，∴选项B错误； 对于选项C，∵，∴选项C正确； 对于选项D，∵，∴选项D错误． 故选：AC 11. 数列是各项为正的等比数列，为其前n项和，数列满足，其前n项和为，则（ ） A. 数列一定为等比数列 B. 数列一定为等比数列 C. 数列一定为等差数列 D. 若有最大值，则必有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义可以判断A,B,C，再结合C，通过特殊值法可以判断D. 【详解】设的公比为，. 对A，，则，恒为定值，则A正确； 对B，，所以，不恒为定值，则B错误； 对C，易知，，恒为定值，由等差数列的定义可知，一定为等差数列，则C正确； 对D，结合C，一定为等差数列，首项为，公差为，若，则有最大值0，此时，则D错误. 故选：AC. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 当时，在定义域内为增函数 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照导数几何意义解决； 证明导数为正值即可； 以极值定义去判定； 构造函数去证明. 【详解】选项A: 当时，曲线, 则，切线斜率 又， 故曲线在点处的切线方程为. A选项错误； 选项B: 令， 则 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 在处取得最小值 当时，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 故当时，在定义域内为增函数.B选项正确； 选项C: 由以上分析知道： 在处取得最小值 当时，必有二根， 不妨设为 则当时，，，为增函数， 当时，，，为减函数， 当时，，，为增函数， 故既存在极大值又存在极小值. C选项正确； 选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值， 不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且， 在上单调递减，又 故极大值为正值，极小值为负值， 当时，；当时， 故函数有三个零点，不妨设为， 又 故有，则 即当时，恰有3个零点，且正确. 故选：BCD 三．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 已知曲线在点处的切线方程是，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答. 【详解】因曲线在点处的切线方程是，则，， 所以. 故答案为：11 14. 已知等差数列的公差， 且、、成等比数列，_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件求得、的等量关系，利用等差中项的性质可求得结果. 【详解】由已知可得，即，，， 因此，. 故答案为：. 15. 若函数有两个不同的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得出，可得出，在等式两边取自然对数得，可得出，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出的取值范围，可解出实数的取值范围. 【详解】令，得出，则，在等式两边取自然对数，可得出，构造函数， 则问题转化为直线与函数的图象有两个交点. ，令，得. 当时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即. 如下图所示，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同的零点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题，在含单参数的函数零点个数问题，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 16. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，分类讨论二次函数的最小值，使得即可，当时，通过求导研究其单调性求其最小值即可. 【详解】①当时，恒成立， 图象的对称轴为，开口朝上， 当，，得，故； 当时，则，符合题意， 则. ②当时，，则， 若，则，则，则在上单调递增， 则，得，此时； 若，则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，得， 故， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 【答案】（1），，；（2），，，. 【解析】 【分析】（1）设这三个数依次为，，，根据已知条件列方程组，求得和的值即可得这三个数； （2）设这四个数依次为，，， (公差为)，根据已知条件列方程组，求得和的值即可得这四个数. 【详解】（1）设这三个数依次为，，， 由题意可得：，解得：， 所以这三个数依次为，，. （2）设这四个数依次为，，， (公差为)， 由题意可得，解得或(舍)， 故所求的四个数依次为，，，. 18. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）最大值与最小值分别为与． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果； （2）利用导数研究函数的单调性，进而结合函数的单调性即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以 所以． 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增．所以 又，所以． 所以在上的最大值与最小值分别为与． 19. 已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，. （1）证明：{+1}为等比数列； （2）设数列{}的前n项和，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知条件证明为常数即可； (2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围. 【小问1详解】 ∵＝2，(n≥2，)， ∴当n≥2时，(常数)， ∴数列{＋1}是公比为3的等比数列； 【小问2详解】 由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列， ∴，∴， ∴ ∵，∴ ∴， ∴ ∴. 当n≥2时， ∴{}为递增数列，故的最小值为， ∴. 20. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）根据（1）对进行分类讨论，由 列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 当时，在定义域上单调递减； 当时，， 当时，单调递减，当时，单调递增. 综上所述，时，在定义域上单调递减； 时，在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，函数，， 符合题意， 由（1）可知，当时，在定义域上单调递减， 所以，故不满足. 当时，在上单调递减，在单调递增， 要想满足，满足即可. ∵，∴即， 化简得，即，综以a的取值范围是. 21. 已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点． （1）求数列的通项公式和； （2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n． 【答案】（1）， （2），7 【解析】 【分析】（1）根据之间的递推关系，可写出。，采用和相减得方法，可求得，由题意可推得为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得答案； （2）写出的表达式，利用错位相减法可求得数列的前n项和，进而利用数列的单调性求的最大整数n． 【小问1详解】 ∵，∴，则， ∴，即，得． 又，∴，即， 可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则 ； ∵点在直线上，∴， ∴，即数列是等差数列， 又，∴； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， 两式相减可得： ，∴, 设， 则， 故，是单调递增的 故当时，单调递增的， 当时，；当时，， 故满足的最大整数． 22. 已知函数． （1）当时，恒成立，求b的值； （2）当，且时，恒成立，求b的取值范围． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）令函数，则恒成立，结合，可得为函数的最小值点，再通过分类讨论可得当时，函数取得最小值，即得； （2）构造函数，由题可知恒成立，利用导函数可证，可得在上单调递增，再利用导数可得恒成立，即求. 【小问1详解】 当时，令函数， 则等价于恒成立，又因为， 所以为函数的最小值点，又， 当时，，函数单调递增，显然不合题意， 当时，令，得， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值， ∴，解得， 即b的值为1． 【小问2详解】 ∵等价于， 即恒成立． 构造函数，则等价于恒成立． 因为，所以． 令函数，，则． 显然是增函数，则，单调递增， 所以， 故， ∴，又恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，恒成立， 即， 故b的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是构造函数，转化为恒成立，进而通过导函数使问题得到解决. 23. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意正整数n，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)由，令，得，或，又的定义域为，讨论两个根及的大小关系，即可判定函数的单调性； (2)当时，在，上递减，则，即，由此能够证明． 【小问1详解】 的定义域为， ， 令，得，或， ①当，即时，若，则，递增；若，则，递减； ②当，即时，若，则，递减； 若，则，递增；若，则，递减； 综上所述， 当－2＜a＜0时，f(x)在，单调递减，在单调递增； 当a≥0时，f(x)在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由(2)知当时，在，上递减，，即， ，，，2，3，，， ， ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，本题的关键是令a＝1，用已知函数的单调性构造，再令x＝恰当地利用对数求和进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学高二（下）数学第一次检测 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则首项（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线经过点（ ） A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ） A. 若有最大值，则数列的公差小于0 B. 若，则使的最大的n为18 C. 若，，则中最大 D. 若，，则数列中的最小项是第9项 8. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的为（ ） A. 数列也是等差数列 B. C. D. 13是数列中的项 10. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 数列是各项为正的等比数列，为其前n项和，数列满足，其前n项和为，则（ ） A. 数列一定为等比数列 B. 数列一定为等比数列 C. 数列一定为等差数列 D. 若有最大值，则必有 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 当时，在定义域内为增函数 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 三．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 已知曲线在点处的切线方程是，则的值为______． 14. 已知等差数列的公差， 且、、成等比数列，_____. 15. 若函数有两个不同的零点，则的取值范围是_______． 16. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 18. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值． 19. 已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，. （1）证明：{+1}为等比数列； （2）设数列{}的前n项和，求证：. 20. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求a的取值范围. 21. 已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点． （1）求数列的通项公式和； （2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n． 22. 已知函数． （1）当时，恒成立，求b的值； （2）当，且时，恒成立，求b的取值范围． 23. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意正整数n，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $