精品解析：江西省赣州市龙南市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

龙南市2024-2025学年第一学期初中期末考试试卷 九年级数学 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 瓮中捉鳖 3. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 平分弦的直径垂直于弦． 4. 将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A. 3，5，1 B. 3，5，-1 C. 3，-5，-1 D. 3，-5，1 5. 若，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 6. 如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分） 7. 抛物线的顶点坐标为_____． 8. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是_________． 9. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是_______． 10. 如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知，则的长为__________．（结果保的根号） 11. 如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________. 12. 如图所示，点在直线上，的半径为的半径为以每秒的速度从A点运动到点，当点A出发后________秒两圆相切． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程：． 14. 已知点A(2a+2，3-3b)与点B(2b-4，3a+6)关于坐标原点对称，求a与b的值. 15. 已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 16. 在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 17. 如图，点、、、都在上，若，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在方格纸中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中的边上确定一点D，连结，使． （2）在图2中的线段上找一个点E，使． 19. 小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： （1）大树到城堡南门的距离； （2）城堡外圆的半径． 20. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求的面积 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求m的值以及点D坐标； （2）P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在菱形中，，点在边上，且．点是上一个动点，以为边在的左侧作正方形；设，正方形的面积为，是关于的函数图象是抛物线如图（2）所示． （1）的长为 ，自变量的取值范围是 ； （2）求关于的函数解析式； （3）当正方形的面积为时，试判断点是否落在上？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙南市2024-2025学年第一学期初中期末考试试卷 九年级数学 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 瓮中捉鳖 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，一定会发生的事件是必然事件，据此判定即可求解，掌握必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、十拿九稳是随机事件，不符合题意； 、守株待兔是随机事件，不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 、瓮中捉鳖是必然事件，符合题意； 故选：． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 平分弦的直径垂直于弦． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，三角形的外心，弧，弦，角的关系，垂径定理，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误，不符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； 故选B． 4. 将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A. 3，5，1 B. 3，5，-1 C. 3，-5，-1 D. 3，-5，1 【答案】D 【解析】 【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论． 【详解】解：可化为， ∴a=3，b=-5，c=1． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质可得，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A 6. 如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，设，过四个点作坐标轴的垂线，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论． 【详解】解：设， 分别过四个点作坐标轴的垂线， 则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数， 由矩形面积可得， 即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分） 7. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题目中已给顶点式，直接读取即可． 【详解】由题可知，顶点为：(－3,－5) 故答案为：(－3,－5)． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，理解顶点式是解题关键． 8. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是_________． 【答案】点P在上 【解析】 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的直径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：点P在上， 故答案为：点P在上． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离是解答此题的关键． 9. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故答案为：． 10. 如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知，则的长为__________．（结果保的根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考据黄金分割点的计算公式，正确掌握公式是解题的关键． 根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】∵点分线段近似于黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数. 【详解】 连接BD交OC与E 是的直径 弦与弦长度相同 故答案为. 【点睛】本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键. 12. 如图所示，点在直线上，的半径为的半径为以每秒的速度从A点运动到点，当点A出发后________秒两圆相切． 【答案】4或5 【解析】 【分析】设点A出发后t秒两圆相切，①当两圆外切时，则，②当两圆内切时，则，进行计算即可得． 【详解】解：设点A出发后t秒两圆相切， ①当两圆外切时，如图（1）所示， 则， ， ， ②当两圆内切时，如图（2）所示， 则， ， ， 综上，当点A出发后4秒或5秒两圆相切， 故答案为：4或5． 【点睛】本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，解题的关键是掌握两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，分类讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 14. 已知点A(2a+2，3-3b)与点B(2b-4，3a+6)关于坐标原点对称，求a与b的值. 【答案】a=-1，b=2. 【解析】 【详解】试题分析：关于原点对称后，点的横纵坐标都变为相反数，根据题意列出关于a和b的二元一次方程组，从而求出a和b的值． 试题解析：根据题意，得(2a+2)+(2b-4)=0， (3-3b)+(3a+6)=0， 解得：a=-1，b=2． 15. 已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，先作的垂直平分线，交于点C，再作的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点为所作． 16. 在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 【答案】能让灯泡发光的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示随机事件等可能结果是解题的关键． 根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算方法即可求解． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个的情况有，，共3种情况， 其中能让灯泡发光的是， ∴能让灯泡发光的概率为． 17. 如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在方格纸中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中的边上确定一点D，连结，使． （2）在图2中的线段上找一个点E，使． 【答案】（1） 则点D即为所求． （2） 则点E即为所求 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据题意，得，得到，只需作出斜边上高线即可． （2）利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故， 作于点D， 理由如下： ，且， 故． 【小问2详解】 解：取， 过点N作交于点E， 则点E即为所求．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 19. 小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： （1）大树到城堡南门的距离； （2）城堡外圆的半径． 【答案】（1）12里 （2）里 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； 【小问2详解】 解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 20. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求的面积 【答案】（1）证明过程见详解 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得， ，所以，进而推断出． （2）根据相似三角形的性质，由的面积为2，故可求的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）3.4 【解析】 【分析】（1）本题根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题． （2）本题作于点E，证明四边形是矩形，设的半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ， 是切线， ， ， ， ． ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：如图2，作于点E， 设的半径为x， ，， ， 由（1），可得， 四边形是矩形， ，， ， 解得， 的半径是． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求m的值以及点D坐标； （2）P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【小问1详解】 解：把点代入，得． 联立， 得． 【小问2详解】 易知，，， 则． 设P点坐标为，故， 解得或． 所以P点坐标为或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在菱形中，，点在边上，且．点是上一个动点，以为边在的左侧作正方形；设，正方形的面积为，是关于的函数图象是抛物线如图（2）所示． （1）的长为 ，自变量的取值范围是 ； （2）求关于的函数解析式； （3）当正方形的面积为时，试判断点是否落在上？并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，点在上；当时，点不在上，见解析． 【解析】 【分析】（）由图象可知，当取最大值时，此时点和点重合，正方形的面积为，求出正方形边长，从而求出的长，根据解直角三角形即可求出自变量的取值范围； （）当时，最小，即正方形的面积最小，求出函数的顶点，然后利用待定系数法即可求解； （）过点作的垂线，当正方形的面积为时，解得，，然后分别代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用和解直角三角形，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，当取最大值时，此时点和点重合，正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，最小，即正方形的面积最小， ∵，， 此时，， 由（）可知， ∴此时， ∴时，正方形的面积为， ∴点是函数的顶点， ∴可设函数解析式为， 又点在函数图象上，即，解得， ∴关于的函数解析式； 【小问3详解】 解：当正方形的面积为时，解得，， 如解图，过点作的垂线， 由（）得，， 当时，， ∴， ∴， 由正方形的对称性可知，此时点在上； 当时，正方形在上方，此时点不在上， ∴当时，点在上；当时，点不在上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $