精品解析：河南省信阳市息县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

河南息县初中九年级2024-2025学年度上期期末学业质量监测 数学学科试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场、座号和考号填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 3. 下列事件是必然事件是（ ） A. 圆的直径所对的圆周角是直角 B. 打开电视机正在播放广告 C. 任意一个一元二次方程都有实数根 D. 元旦是星期一 4. 如图，点A，B，C都在圆O上，若∠C=34°，则∠AOB为（ ） A. 34° B. 56° C. 60° D. 68° 5. 如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( ) A. B. C. D. 6. 设点、、是抛物线的图象上三点，则 、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A B. C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是半径为的的直径，点在上，，点为劣弧的中点．点是直径上一动点，则的最小值为(　　) A. B. 2 C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点与关于原点对称，则___________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围________ 13. 中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线弧的长为_____．(结果保留) 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． 18. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是___________； （2）用列表或画树状图的方法，求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率． 19. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，经过点直线与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式以及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 20. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22. 某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． （1）求抛物线解析式和顶点坐标． （2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 23. 如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明思路，请你完成证明； （2）若圆的半径为4，则的最大值为__________； （3）【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南息县初中九年级2024-2025学年度上期期末学业质量监测 数学学科试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场、座号和考号填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根意义，将根代入方程求解是解题关键． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 圆的直径所对的圆周角是直角 B. 打开电视机正在播放广告 C. 任意一个一元二次方程都有实数根 D. 元旦是星期一 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、圆的直径所对的圆周角是直角，是必然事件，该选项符合题意； B、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，该选项不符合题意； C、任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，该选项不符合题意； D、元旦是星期一是随机事件，该选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，点A，B，C都在圆O上，若∠C=34°，则∠AOB为（ ） A. 34° B. 56° C. 60° D. 68° 【答案】D 【解析】 【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解． 【详解】解：∵∠C=34°， ∴∠AOB=2∠C=68°． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 5. 如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 6. 设点、、是抛物线的图象上三点，则 、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性和增减性即可进行解答．解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ， 而点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴， 故选：A． 7. 大约在两千四五百年前，墨子和他学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答． 【详解】解：如图： 依题意， ∵物距为，像距为 ∴ ∵蜡烛火焰倒立的像的高度是 ∴ ∴ 故选：A 8. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 10. 如图，是半径为的的直径，点在上，，点为劣弧的中点．点是直径上一动点，则的最小值为(　　) A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，根据轴对称的最短问题得出：与的交点即为的最小时的点，的最小值，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，根据等弧所对的圆心角相等得出，由对称性，，根据角的和差得出，进而判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出的长，从而得出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，，连接， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ∵， ∴． ∵点为劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴, 即的最小值 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理；轴对称的应用，最短距离问题，得出与的交点即为的最小时的点，的最小值是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点与关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围________ 【答案】 【解析】 【分析】根据∆>0列式求解即可. 【详解】由题意得 4-8m>0， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 13. 中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线弧的长为_____．(结果保留) 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵转角为， ∴， ∵过点，的两条切线相交于点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设，则， ∵， ∴当时，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴三点共线，即此时点F与点C重合， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟练运用因式分解法将方程转化为两个一元一次方程来求解． （1）题通过对一元二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程求解； （2）题先对等式变形，再因式分解，进而求出方程的解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得，，． 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换， （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 18. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是___________； （2）用列表或画树状图的方法，求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．． （1）根据简单概率公式计算即可得出答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．． 【小问1详解】 解：三个物理实验，用、、表示， 小刚抽到物理实验的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： ， 结果，，，，，，，，共有种等可能出现的结果，其中小刚抽到物理实验和化学实验的结果有种， 小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是． 19. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，经过点直线与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式以及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形性质、反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质，利用数形结合思想求解不等式的解集是解答的关键. （1）由直线经过点，求出，进而由求出函数的表达式的，，即可求解； （2）联立方程组求出交点坐标，再利用图象，求得直线位于双曲线的上方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵当时，，即， ∴， ∴．即反比例函数的表达式为， 当， 时，， ∴， 当时，，即点 ． 【小问2详解】 解：由题意得：，解得：或． 所以，A，B坐标分别为， 由图象知，不等式的解集为或． 20. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 22. 某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标． （2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）该同学抛出的弹珠不能投入箱子 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，，即可求解； （2）根据题意求出点，，，再由当时， 可得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线过点， 将把点，代入得 解得 ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， 即点． ∵，， ∴． ∴点，，． 当时，， ∵， ∴该同学抛出弹珠不能投入箱子． 23. 如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明； （2）若圆的半径为4，则的最大值为__________； （3）【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）可证得P、B、Q三点在同一条直线上，进而证得是等边三角形，进一步得出结论； （2）当是直径时，的值最大，即最大，进而求得结果； （3）将绕点A顺时针旋转90°到，使点C与点B重合，P、B、Q三点在同一条直线上，进而证明是等腰直角三角形，类比（2）可得出结果． 【小问1详解】 证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：是的弦，且的半径为4， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是8； 【小问3详解】 解：如图2，，， ∵BC是的直径，且圆心在BC上， ∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， 则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ， 最大值是， ， 周长的最大值是． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转性质，圆内接四边形性质等知识，解决问题的关键是类比证明和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $