精品解析：河南省三门峡市灵宝市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

灵宝市2024-2025学年上期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. a4+a5＝a9 B. a3•a4＝a12 C. a8÷a4＝a2 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 5. 在图中，（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列从左到右的变形中，正确的是 （　　） ①②③④ A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ②和④ 8. 若2x+5y﹣3=0，则4x•32y的值为（   ） A. 8                                         B. ﹣8                                         C.                                          D. ﹣ 9. 如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 10. 如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为______. 12. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______． 13. 计算________． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，，则的周长为 ______ ． 15. 在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是______． 三、解答下列各题（本大题共8道题，75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. （1）解方程：； （2）先化简,再从中选一个适合的整数代入求值． 19. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： （1） （2）； 20. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 21. 列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 23. 如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． （1）如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； （2）如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； （3）如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵宝市2024-2025学年上期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 根据最简分式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意； B、，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、，不是最简分式，故此选项不符合题意； D、，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.据此进行解答即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，故选项符合题意； B.是轴对称图形，故选项不符合题意； C.是轴对称图形，故选项不符合题意； D.是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A 4. 下列运算正确的是（　　） A. a4+a5＝a9 B. a3•a4＝a12 C. a8÷a4＝a2 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、两项不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、a3•a4=a7，故不符合题意； C、a8÷a4=a4，故不符合题意； D、（-2a2）3=-8a6，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 在图中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 本题考查了三角形外角的性质． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 7. 下列从左到右的变形中，正确的是 （　　） ①②③④ A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ②和④ 【答案】B 【解析】 【详解】，因为 ，分式的分子、分母同时除以b，等式仍成立，故①正确； ，当c=0时，该等式不成立，故②错误； ，因为 ，分式的分子、分母同时除以 ，等式仍成立，故③正确； ，不成立，故④错误； 综上所述，正确的①和③． 故选B． 8. 若2x+5y﹣3=0，则4x•32y的值为（   ） A. 8                                         B. ﹣8                                         C.                                          D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数的乘法和幂的乘方的性质，先都化为以2为底数的幂相乘的形式，再代入已知条件计算即可. 【详解】， ， . 故选. 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便. 9. 如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键． 过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么． 【详解】解：如图，过点作于， 又，， ， 在直角中，，， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等； 根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误； 【详解】解：与均为等腰直角三角形，， 故①正确； 在与中 故②正确； 点是线段的中点， 故③正确； 故④错误； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可得出． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0且x≠0， ∴x=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零． 12. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关轴对称的点的坐标特征，理解关于轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键． 根据关于的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同来求解． 【详解】解：两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ． 故答案为：． 13. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，先化简零次幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，，则的周长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解． 【详解】由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 15. 在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、最短线路问题、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知两点之间线段最短．作A关于的对称点，连接，，与相交于点P，得，，由已知求得，得到为等边三角形，则，则的长度就是的最小值． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接，，与相交于点P， 由轴对称得，，， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ， 的最小值是6． 故答案为：6． 三、解答下列各题（本大题共8道题，75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，平方差公式，完全平方公式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，再合并同类项，即可作答． （2）先运用平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程：； （2）先化简,再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】（1）原方程无解；（2），． 【解析】 【分析】(1)先去分母,再解整式方程,再验根;(2)根据分式运算法则先化简,再代入已知条件中的值计算. 【详解】解： 方程两边同时乘以,得 . 解得 检验:当时, , 所以,不是原方程的解,原方程无解. 解： 当时,原式 【点睛】考核知识点:分式化简求值.掌握分式运算法则是关键. 19. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 20. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 【答案】（1） 证明：， ∴， 在和中， ， ∴； （2）40 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 21. 列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 23. 如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． （1）如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； （2）如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； （3）如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）结论依然成立．理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，，，证明为等腰三角形，即可得出结论； （2）过点D作，证明是等边三角形，推出，进而得到，根据三线合一，得到即可； （3）根据对称，得到，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，． 理由：如图①中 ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为，． 【小问2详解】 结论依然成立．理由如下： 如图②中，过点D作，交AB于点H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图③中， ∵B，G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $