精品解析：陕西省西安市高新一中实验中学2024-2025学年高三下学期第一次月考数学试题

命学科网命组卷网 陕西省西安市高新一中（实验)2024-2025学年 高二下学期第一次月考 一、单选题 1已知集合4=《x2x-y=0叫，B=(x=r-列，则4nB的真了集有()个 A.3 B.4 C.7 D.8 2.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A510种 B.10种 C.50种 D.3024种 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O2,过直线OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正 方形，则该圆柱的表面积为 A12N2π B.12π C.82π D.10元 4.已知a目(0，π)，且3cos2a-8cosa=5,则sina=() A.V5 B. 2 3 3 1 D.V5 9 5.已知两条直线l:ax+4y-1=0,l2:x+ay+2=0,则“a=2"是“1∥l”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若a2+a6=12,则S,=() A.48 B.42 C.24 D.21 7已知椭圆E:少+ 存=1(@>b>0)的左顶点为A,上，下焦点分别为F,5,直线1经过F且与E交 于B,C两点，若I垂直平分线段AF,且ABC的周长为8√3，则E的方程是() B 上+ -=1 129 124 第1页/共4页 可学科网可组卷网 -=1 D+ =1 6 4 4 3 8.已知函数f(x=a-x(a>1)有且只有一个零点，则a的取值范围为() e ee,e e, 二、多选题 9.对于两条不同直线m,和两个不同平面a,阝，下列选项中正确的为() A.若m⊥a,n⊥B,a⊥B,则m⊥n B.若m/1a,n//B,a⊥阝，则m⊥n或m∥n C.若m/1a,a/1B,则m11B或mcB D.若m⊥a,m⊥n,则n/a或ncc 10.已知直线1：ax+by-2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是() A若点A在圆C上，则直线1与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相切 11.如图，有一列曲线P,P,P,…,已知B所围成的图形是面积为1的等边三角形，P(k=0,1,2,3,) 是对P进行如下操作得到的：将P的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再 将中间部分的线段去掉，记S:为曲线P所围成图形的面积，则() 入 Po P P2 AP的边数为128 BS,=40 27 D.S.= 6. 83 C.P的边数为3×4 55 三、填空题 12.已知{an}是单调递增等比数列，a4+a=24,aa6=128,则公比g的值是 13.若过点(2，t)可以作曲线y=lnr的两条切线，则实数t的取值范围是 14.已知函数f(x)=e-e-2x+1,则不等式f(2x-3)+f(x)>2的解集为 第2页/共4页 可学科网函组卷网 四、解答题 15.设函数f(x)=lnx-x2+x. (I)求f(x)的单调区间： (II)求f(x)在区间[，e]上的最大值。 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,M为BC的中点，且PB⊥AM· M 分 (1)证明：平面PAM⊥平面PBD; (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积. 17.已知等差数列am}满足a。=6+43,且a3-1是a:-1,a,的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式： 2)设b,=,】n∈N),数列b,的前项和为，求使T,< a d 成立的最大正整数”的值 18.已知F,E分别为双曲线C:3x2-y2=元(2>0)的左、右焦点，过F的直线1与双曲线C的右支交 于A,B两点，当1与x轴垂直时，△ABF面积为12. (1)求双曲线C的标准方程： (2)当1与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D.试判断 DF 是否为定值，若是，请求出 AB 该定值；若不是，请说明理由。 19.已知函数f(x)=eln(1+x) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0，+0)上的单调性： (3)证明：对任意s,1∈(0，+o),有f(s+t)>f(s)+f(t). 第3页/共4页 学科网组卷网 第4页/共4页学科网可组卷网 陕西省西安市高新一中（实验）2024-2025学年 高二下学期第一次月考 一、单选题 1已知案合4=2x-y=0,8=x水=-列，则4nB的真了架有()个 A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 分析】联立方程求出A⌒B中元素个数，进而可得真子集个数 2x-y=0 x=3x=-1 【详解】解：联立方程 y=x2-3'解得 =6或=2 即A∩B={(3,6),(-1,-2}，有2个元素 故A个B的真子集有22-1=3个. 故选：A 2.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A510种 B.105种 C.50种 D.3024种 【答案】A 【解析】 【分析】 乘客下车这个事件可以考虑每个乘客的下车方式，应用分步乘法原理求解 【详解】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式， 故选：A 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O,,过直线OO,的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正 方形，则该圆柱的表面积为 A12V2元 B.12π C.8V2π D.10元 【答案】B 【解析】 第1页/共17页 命学科网品组卷网 【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高， 从而利用相关公式求得圆柱的表面积 详解：根据题意，可得截面是边长为2√2的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是√5的圆，且高为2√2， 所以其表面积为S=2π（√2）2+2π·√2,2√2=12π，故选B 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关 量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积 的和 4.已知aE(0,π)，且3cos2a-8cos=5,则sina=(） A V5 B 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将己知方程转化为关于C0sa的一元二次方程，求解得出C0sa,再用同角 间的三角函数关系，即可得出结论 【详解】3cos2a-8cosa=5,得6c0s2a-8c0sa-8=0, 即3c0s2a-4cosa-4=0,解得cosa= 2或cosa=2(含去)， 又：a∈(0，π)，∴sina=V1-cos2a= 3 故选：A 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能 力，届于基础趣 5.己知两条直线l:ar+4y-1=0,12:x+ay+2=0,则a=2”是“l1∥l2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第2页/共17页 可学科网 函组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出a,再利用充分条件、必要条件的定义判断即得 【详解】当4，时，9=4 1 a 2,则a=2, 所以“a=2”是“ll2”的充分不必要条件 故选：A 6.已知等差数列{an}的前n项和为S,,若a2+a6=12,则S,=() A.48 B.42 C.24 D.21 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质求出4+4，的值，再由等差数列的求和公式即可得解 【详解】因{an}为等差数列，故a+a,=a2+a6=12, 则3，=7a+a)7 。×12=42 2 2 故选：B 1已知祸图E:号+若=a>b>0的左顶点为，上，下货直分别为5，R,直线修过51与E安 于B,C两点，若I垂直平分线段AF2,且ABC的周长为8√3，则E的方程是() 十 =1 B.y2 x2 =1 129 124 c. =1 -=1 64 43 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得4a=8√3，即可根据椭圆性质可得c=√3，即可求解 【详解】如图，由题可知A-b,0),设F(0,c,F(0,-c),c>0连接CF,BF,AF, 因为1垂直平分线段AF,所以CF=AC,BF=AB,AF=FF, 第3页/共17页 学科网函组卷网 所以ABC的周长为CF+BF+BF+CF=4a=8V5,可得a=2V5, 因为AF=Ve2+b2=a=EE引，所以a=2c,得c=V3,从而b=3, 故E的方程是上+x =1 129 故选：A B/ 8.已知函数f(x=a-x(a>1)有且只有一个零点，则a的取值范围为() e e,+0 D e ,+0 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数f(x)在(-∞，0上有一个零点，则函数f(x在(0，+0)上没有零点，由f(x)≠0 可得出lna≠ 2In ,则直线y=lna与函数h(y=2血的图象无交点，利用导数分析函数h(刘的单调 性与极值，数形结合可得出关于实数a的不等式，由此可求得实数a的取值范围 【详解】当x≤0时，y=a(a>1为增函数，y=x2为减函数，此时函数f(x为增函数， 因为f-1=1-1=1-0<0,f0)=1>0, a 由零点存在定理可知，函数f(x)在(-1,0)上有一个零点， 故函数fx在(-0,0上只有一个零点， 由题意可知，函数f(x)在(0，+0)上没有零点 当x>0时，由f(x=a-x2≠0可得a≠x2, 第4项/共17页 学科网函组卷网 2Inx 即xlna≠2lnx,即lna≠ 设h(x)= ,其中x>0,则=21-n 2In x2 当0<x<e时，h'(x>0,函数h(x在(0，e上单调递增， 当x>e时，h'(x)<0,函数h(x在(e,+o上单调递减， 所以，A大=A川心=子，作出函数的图象如下图所示 y y=Ina 0 A =h(x) 因为a>1,则na>0,放当na>2时，即当a>e时。 e 直线y=lna与函数h(x)= 2血的图象没有交点 2 综上所述，实数a的取值范围是 e°，+0 故选：D 【点睛】关键点点晴：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化 为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数 的单调性、极（最）值问题处理. 二、多选题 9.对于两条不同直线m,和两个不同平面，阝，下列选项中正确的为() A若m⊥o,n⊥B,a⊥B,则m⊥n B.若m/a,n/β，a⊥阝，则m⊥n或m∥n C.若m/1a,a/B,则m/1B或mcB D.若m⊥a,m⊥n,则n/fa或nca 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断. 第5项/共17页 学科网函组卷网 【详解】若m⊥u,n⊥B,m的方向向量是a的法向量，n的方向向量是B的法向量，Q⊥阝，则a,阝的 方向向量垂直，所以m的方向向量与n的方向向量垂直，则m⊥n,A正确： 若m/1a,n/1B,a⊥B,m,n可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错： 若m/1a,a/B,则m/1β或mcB,m与B不相交，C正确： 若m⊥a,m⊥n,则n/fa或nCa,n与a不相交，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点晴：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平行的位置关系有三种：直线在平面 内，直线与平面平行，直线与平面相交.直线与平面垂直可利用平面的法向量与直线的方向向量的关系判 断. 10.已知直线1：ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是() A若点A在圆C上，则直线1与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,,2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位 置关系即可得解 【详解】圆心C(0,0)到直线1的距离d= a+b r 若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2,所以d=- 则直线1与圆C相切，故A正确： r 若点Aa,b)在圆C内，则a2+b2<r2,所以d= 则直线1与圆C相离，故B正确： 若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2,所以d= 则直线I与圆C相交，故C错误： 若点A(a,b)在直线1上，则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2, 第6页/共17页 可学科网可组卷网 所以d= =r,直线1与圆C相切，故D正确， 故选：ABD 11.如图，有一列曲线P,P,P2,…,已知B所围成的图形是面积为1的等边三角形，P(k=0,1,2,3,) 是对P进行如下操作得到的：将P的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再 将中间部分的线段去掉，记S,为曲线P所围成图形的面积，则() P P 40 AP的边数为128 B.S2= 2 C.P的边数为3×4 D.S.= 83y 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定信息，归纳可得P的边数判断AC;依次计算归纳得P所围图形的面积判断BD 【详解】依题意，令P图形的边长为a, 3 2=1,边数是3， 根据图形规律，P图形边长为日，边数为B边数的4倍，即3×4： 3 B图形边长为号，边数为3×4：依此类推，P图形边长为 ，边数为3×4，C正确： P的边数为3×43=192，A错误： 由图形规律知曲线P所围图形的面积S,等于曲线P.-,所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积， 而每一个边塔加的小等边三角形面积为5x只》， -×( 43 则5=5+6x4)x5×(学，整理得5- 14 4 3 第7页/共17页 可学科网可组卷网 数列S.-5是等比数列，B图形的面积3，=1+3×5×(=。 4 3 4.1.9 Sn=S+(S2-S)+(S-S)+…+(Sn-Sn)= -(-]83 33 台，D正确： 1-455xg 9 S,=83x1640 55'8127 B正确 故选：BCD 三、填空题 12.已知{an}是单调递增的等比数列，a,+a5=24,aa6=128,则公比q的值是 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的定义与性质求解。 [a4=8.a4=16 【详解】由等比数列性质知aa。=a,4,联立 a4+45=24 a,4=128 ，解得 或 a=16a,=8' 因为{a}是单调递增的等比数列，所以 4=16'即g=%=2 a4=8 故答案为：2 13.若过点(2，t)可以作曲线y=lnx的两条切线，则实数t的取值范围是 【答案】(ln2,+o 【解析】 【分析】设出切点(x,山x,),(x,>0),写出切线方程，依题转化成(+l)x。-x,lnx,-2=0有两个不同得 实数根设g(x)=(1+1)x-xlx-2,(x>0),求得g(x)的单调区间和最大值即可得解. 【详解】设切点为(x,山x),(x>0),由题得：y=二，故切线的斜率为一，切线方程为： Xo y-lnx=上c-), 因切线经过点(2，小，则1-1n,=(2-）,故《+1x,-1nx,-2=0有两个不同的实数根 Xo 第8页/共17页 学科网函组卷网 不妨设g(x)=(t+l)x-xlnx-2,(x>0),则g'(x)=t-lnx, 当0<x<e'时，g'(x)>0,g(x)单调递增：当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减 故g(x)mx=g(e')=e'-2,则e'-2>0,即t>ln2,所以实数t的取值范围为(ln2,+oo) 故答案：(n2,+o) 14.已知函数f(x)=e-e-2x+1,则不等式f(2x-3)+f(x)>2的解集为 【答案】(1，+0) 【解析】 【分析】先根据函数特点构造gx=f(x)-1=e-e-2x,得到其奇偶性和单调性，再对不等式 f(2x-3)+∫(x)>2变形得到g2x-3)>-g(x)=g(-x,根据单调性得到2x-3>-x,解不等式求 出答案， 【详解】令gx)=f(x)-1=e-e-2x,定义域为R, 且g(-x=e-e+2x=-gx, 所以g(x=f(x)-1=e-e-2x为奇函数， f(2x-3)+f(x)>2变形为f(2x-3)-1>1-f(x), 即g(2x-3)>-gx=g(-x, 其g'(x)=e+e*-2≥2Vee-2=0,当且仅当e'=e,即x=0时，等号成立， 所以g(x=f(x)-1=e-e-2x在R上单调递增， 所以2x-3>-x,解得：x>1, 所以解集为(1，+0) 故答案为：(1，+0) 四、解答题 15.设函数f(x)=1nx-x2+x. (I)求f(x)的单调区间： (II)求f(x)在区间[，e]上的最大值. 第9页/共17页 可学科网函组卷网 【答案】(I)f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，+o):(II)f(x)x=f(1)=0 【解析】 【详解】试题分析：(1)求导川x)=x-川2x+ ,可得单调区间； (2)根据单调性可求最值 试题解析： (I)因为f(x)=lnx-x2+x其中x>0 所以f’(x)=二 2x1=-(x-2x+ 所以f(x) 增区间为(0,1)，减区间为(1，+∞). (II)由(I)f(x)在[5,1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴.f(x)axf(1)-0. 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,M为BC的中点，且PB⊥AM, P M B (1)证明：平面PAM⊥平面PBD: (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积. 【答案】(1)证明见解析：（2)V2 【解析】 【分析】(1)由PD⊥底面ABCD可得PD⊥AM,又PB⊥AM,由线面垂直的判定定理可得AM⊥平 面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM⊥平面PBD: (2)由(1)可知，AM⊥BD,由平面识可知，aDAB~aABM,由相似比可求出AD,再根据四棱 锥P-ABCD的体积公式即可求出. 【详解】(I)因为PD⊥底面ABCD,AMc平面ABCD, 第10页共17页