精品解析：陕西省西安市高新一中实验中学2024-2025学年高三下学期第一次月考数学试题

陕西省西安市高新一中（实验）2024-2025学年 高三下学期第一次月考 一、单选题 1. 已知集合，，则的真子集有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程求出中元素个数，进而可得真子集个数. 【详解】解：联立方程，解得或， 即，有2个元素 故的真子集有个. 故选：A. 2. 某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 510种 B. 105种 C. 50种 D. 3 024种 【答案】A 【解析】 【分析】 乘客下车这个事件可以考虑每个乘客的下车方式，应用分步乘法原理求解． 【详解】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式， 故选：A.． 3. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为， 所以其表面积为，故选B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 5. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 7. 已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得，即可根据椭圆性质可得，即可求解. 【详解】如图，由题可知，设.连接， 因为垂直平分线段，所以， 所以的周长为，可得， 因为，所以，得，从而， 故的方程是. 故选：A 8. 已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数在上有一个零点，则函数在上没有零点，由可得出，则直线与函数的图象无交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围. 【详解】当时，为增函数，为减函数，此时函数为增函数， 因为，， 由零点存在定理可知，函数在上有一个零点， 故函数在上只有一个零点， 由题意可知，函数在上没有零点. 当时，由可得， 即，即， 设，其中，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为，则，故当时，即当时， 直线与函数的图象没有交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多选题 9. 对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，则的方向向量垂直，所以的方向向量与的方向向量垂直，则，A正确； 若，可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错； 若，则或，与不相交，C正确； 若，则或，与不相交，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平行的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交．直线与平面垂直可利用平面的法向量与直线的方向向量的关系判断． 10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（ ） A. 的边数为128 B. C. 的边数为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定信息，归纳可得的边数判断AC；依次计算归纳得所围图形的面积判断BD. 【详解】依题意，令图形的边长为，，边数是3； 根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即； 图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，C正确； 的边数为，A错误； 由图形规律知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积， 而每一个边增加的小等边三角形面积为， 则，整理得， 数列是等比数列，图形的面积， ，D正确； ，B正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的定义与性质求解. 【详解】由等比数列性质知，联立，解得或， 因为是单调递增的等比数列，所以，即． 故答案为：2 13. 若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解. 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案. 【详解】令，定义域为R， 且， 所以为奇函数， 变形为， 即， 其，当且仅当，即时，等号成立， 所以在R上单调递增， 所以，解得：， 所以解集为. 故答案为： 四、解答题 15. 设函数f（x）=lnx-x2+x. （I）求f（x）的单调区间； （II）求f（x）在区间[，e]上的最大值. 【答案】（I）f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）; （II）f（x）max=f（1）=0. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求导,可得单调区间； （2）根据单调性可求最值. 试题解析： （I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x>0 所以f '（x）=-2x+1=- 所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f（x）max=f（1）=0. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法 由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 17. 已知等差数列满足，且是的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值. 【答案】(1) (2)8 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出有关和的方程组，可解出和的值，从而可求出数列的通项公式； （2）先得出，利用裂项法求出数列的前项和，然后解不等式，可得出的取值范围，于此可得出的最大值． 【详解】（1）设等差数列的公差为，，即， ∴， 是，的等比中项， ∴，即，解得. ∴数列的通项公式为； （2）由（1）得 ∴ . 由，得，∴使得成立的最大正整数的值为8. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项求和法，解等差数列的通项公式，一般是利用方程思想求出等差数列的首项和公差，利用这两个基本两求出等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题． 18. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值1 【解析】 【分析】（1）根据面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可. 【小问1详解】 双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB的中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 【点睛】方法点睛： （1）根据题意设直线方程，联立圆锥曲线的方程，得出韦达定理； （2）将条件利用点的坐标结合弦长公式，代入韦达定理化简证明. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2）在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【小问1详解】 因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 【小问2详解】 因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市高新一中（实验）2024-2025学年 高三下学期第一次月考 一、单选题 1. 已知集合，，则的真子集有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 510种 B. 105种 C. 50种 D. 3 024种 3. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 7. 已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 若，则或 10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 11. 如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（ ） A. 的边数为128 B. C. 的边数为 D. 三、填空题 12. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________． 13. 若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数，则不等式的解集为______________． 四、解答题 15. 设函数f（x）=lnx-x2+x. （I）求f（x）的单调区间； （II）求f（x）在区间[，e]上的最大值. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 17. 已知等差数列满足，且是的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值. 18. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $