课时达标检测(22) 空间向量的数量积(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(二十二)　空间向量的数量积 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,<A',B'D>= (D) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析　连接BD,A'D(图略),因为B'D'∥BD,△A'BD为正三角形,所以∠A'BD=60°,由向量夹角的定义可知<A',>=120°,即<A',B'D>=120°。 2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 (C) A.2· B.2· C.2· D.2· 解析　2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错;2·==a2,故C正确。 3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为 (B) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°。 4.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a-b+2c|= (C) A.5 B.6 C. D. 解析　由题意,得a·b=b·c=a·c=,a2=b2=c2=1,所以|a-b+2c|=== =。 5. 如图,在大小为45°的二面角A⁃EF⁃C中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 (D) A. B. C.1 D. 解析　因为=++,所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=。 6.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则|PC|等于 (C) A.6 B.6 C.12 D.144 解析　因为=++,所以=+++2·+2·+2·=36+36+36+2×36cos 60°=144,所以|PC|=12。 二、多项选择题 7. 已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是 (BCD) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;因为由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0;同理·=0。故选BCD。 8.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列选项正确的是 (AB) A.(A++)2=3 B.A1·(A1-A1)=0 C.与A1的夹角为60° D.正方体的体积为|·A·| 解析　如图所示,(A++)2=(A+A1+D1)2=A=3;A1·(A1-A1)=A1·A=0;A与A1的夹角是D1与D1夹角的补角,而D1与D1的夹角为60°,故A与A1的夹角为120°;正方体的体积为|||A|||。故选AB。 三、填空题 9. 如图所示,在四面体ABCD中,每条棱的长度都等于1,M,N分别为AB,AD的中点,则·= - 。  解析　由题意知,·=·=||·||·cos<,>=cos 120°=-。 10.已知|a|=2,|b|=10,<a,b>=120°,则向量b在向量a方向上的投影数量是 -5 ,向量a在向量b方向上的投影数量是 -1 。  解析　根据向量投影的定义,向量b在向量a方向上的投影数量是|b|cos<a,b>=10×cos 120°=-5;向量a在向量b方向上的投影数量是|a|cos<a,b>=2×cos 120°=-1。 11.如图,在一个直二面角α⁃AB⁃β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD= 2 。  解析　因为=++=-+,所以=(-+)2=++-2·+2·-2·=16+36+64=116,所以||=2。 四、解答题 12.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角。 解　不妨设正方体的棱长为1,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,=a-c,=a+b。所以·=(a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1。而||=||=,所以cos<,>==,又0°≤<,>≤180°,所以<,>=60°。因此异面直线A1B与AC所成的角为60°。 13.如图,已知在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点。求证:OG⊥BC。 证明　设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ。又=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|。因为=(+)=+(+)=(a+b+c),=c-b,所以·=(a+b+c)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2cos θ-|a|2cos θ+|a|2cos θ-|a|2+|a|2-|a|2cos θ)=0。所以⊥,即OG⊥BC。 素养升级 14.如图,正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面边长为。 (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设与的夹角为,求侧棱的长。 解　(1)证明:A=+B,B=B+。因为BB1⊥平面ABC,所以B·=0,B·=0。又△ABC为正三角形,所以<,>=。所以A·B=(+B)·(B+)=·B+·+B+B·=||||cos<,>+B=-1+1=0,所以A⊥B,所以AB1⊥BC1。 (2)由(1)知A·B=||||cos<,>+B=B-1。又|A|===|B|,所以<A,B>==,所以|BB1|=2,即侧棱长为2。 15.如图①,在△ABC中,∠ACB=60°,CD为∠ACB的平分线,AC=4,BC=2,过点B作BN⊥CD于点N,延长后交CA于点E,把图形沿CD折起,使∠BNE=120°,如图②所示,求折后所得线段AB的长度。 ①　② 解　 如图,过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M,则CM=AC·cos∠ACM=4×cos 30°=2,CN=BC·cos∠NCB=2×cos 30°=,所以MN=CM-CN=。易知AM=AC·sin 30°=2,BN=BC·sin 30°=1,且<,>=120°,所以<,>=60°。因为⊥,所以·=0。同理·=0。因为=++,所以=+++2·+2·+2·=4+3+1+2||||cos 60°=10。所以||=,即折后所得线段AB的长度为。 学科网（北京）股份有限公司 $$