第3章 §4 4.3 第2课时 空间中的距离问题(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　空间中的距离问题 情境导入 课程标准 　　某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处。要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计? 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 自主预习明新知 1.点到平面的距离 点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=|·n0|。 2.点到直线的距离 若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为 d=。 微思考 1.怎样求平行线之间的距离? 提示:转化为点线距离。 2.怎样求线面、面面距离? 提示:转化为点面距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　求点到直线的距离 　　【例1】　已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离。 解　 以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量为=(-4,3,0),而=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d===。 　　用向量法求点到直线的距离的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的单位方向向量;(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量;(4)代入点线距公式求距离。 【变式训练】　在长方体OABC⁃O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,求O1到直线AC的距离。 解　解法一:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0),所以=(-2,0,2),=(-2,3,0),所以对应的单位向量为u=-,,0,所以O1到直线AC的距离d===。 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0),过O1作O1D⊥AC于点D,设D(x,y,0),则=(x,y,-2),=(x-2,y,0)。 因为=(-2,3,0),⊥,∥,所以解得所以D,,0,所以||==。即O1到直线AC的距离为。 类型二　求点到平面的距离 　　【例2】　 在三棱锥S⁃ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示。求点B到平面CMN的距离。 解　取AC的中点O,连接OS,OB。因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SO,AC⊥BO。因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,所以SO⊥平面ABC。 又BO⊂平面ABC,所以SO⊥BO。如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O⁃xyz,则B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2,M(1,,0),N(0,,)。所以=(3,,0),=(-1,0,),MB=(-1,,0)。设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则取z=1,则x=,y=-,所以n=(,-,1)。所以点B到平面CMN的距离d==。 　　求点到平面的距离的主要方法:(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离。(2)在三棱锥中用等体积法求解。(3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)。 【变式训练】　 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点。 (1)求证:B1C∥平面A1BD; (2)求点B1到平面A1BD的距离。 解　(1)证明:连接AB1交A1B于点E,则E为AB1的中点。连接DE。因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。 (2)如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),D=(0,2,3),DB=(0,2,0),D=(-1,0,3)。设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),所以所以n=(3,0,1)。故所求距离为d==。 类型三　其他距离的求法 　　【例3】　 如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H。 (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EGF∥平面ABD; (3)求平面EGF与平面ABD的距离。 解　 (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G,1,0。所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2)。所以·=0+0+0=0,·=0+4-4=0。所以⊥,⊥,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD。又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD。 (2)证明:由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=-,0,0,=(0,1,-1),所以=2,=2,所以∥,∥。所以GF∥AB,EF∥BD。又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD。 (3)由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量。因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离,设为d。因为=(0,0,3),=(0,2,2),所以d===。即两平面间的距离为。 　　线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行。 【变式训练】　 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点。 (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离。 解　 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,,0,F,1,0,则=1,,-1,=,1,-1。设平面PEF的一个法向量为n=(x,y,z),则所以即令y=2,则n=(2,2,3),又=(0,0,1),所 以点D到平面PEF的距离d===。 (2)由于E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离。由于=0,,0,又由(1)知平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3),所以点A到平面PEF的距离为==,即直线AC到平面PEF的距离为。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知直线l过定点A(2,3,1),且n=(0,1,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为 (A) A. B. C. D. 解析　=(-2,0,-1),||=,=,则点P到直线l的距离d===。 2.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则点P(1,2,-2)到α的距离为 (A) A. B. C.2 D. 解析　因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为d===。 3.正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,E为A1D1的中点,则C1到直线CE的距离为 (C) A. B. C. D. 解析　 建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=1,,-1,C=(0,0,1),所以点C1到CE的距离为d===。故选C。 4. 如图所示,在直二面角D⁃AB⁃E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为  。  解析　取AB的中点O,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2)。设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则x=-1,z=-1,所以n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量。故点D到平面ACE的距离d===。 5. 如图,在直棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离。 解　如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D⁃xyz,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0)。过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,所以B(1,2,0),所以=(0,2,0),=(-1,-,1)。设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则即所以y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1)。因为AB∥A1B1,AB⊂平面ABE,A1B1⊄平面ABE,所以直线A1B1与平面ABE平行,所以直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离。因为=(0,0,2),所以点A1到平面ABE的距离d===。所以直线A1B1与平面ABE的距离为。 学科网（北京）股份有限公司 $$