第3章 §4 4.3 第1课时 空间中的角(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 情境导入 课程标准 　　地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转,地轴与地球的赤道面垂直,黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”,黄赤交角约为23°26'。则地轴与黄道面的交角是多少? 1.理解直线与平面所成角的概念。 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角。 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系。 自主预习明新知 1.两条直线所成的角 若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b所成的角θ∈0,,且θ与两个方向向量所成的角<a,b>相等或互补。也就是说: 当0≤<a,b>≤时,θ=<a,b>; 当<<a,b>≤π时,θ=π-<a,b>。 故cos θ=|cos<a,b>|。 2.直线与平面所成的角 由图①和图②不难看出:直线与平面所成的角和直线与平面的垂线所成的角互余。 ①　② 设向量 l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α所成的角θ∈0,,且θ=-<l,n>(如图①)或θ=<l,n>-(如图②),故sin θ=|cos<l,n>|。 3.两个平面所成的角 一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α⁃l⁃β的平面角与两法向量所成角<n1,n2>相等(如图①)或互补(如图②)。 ①　② 微提醒 1.由角θ与<l,n>的关系,利用诱导公式可知,在直线与平面所成的角的向量计算公式中,三角函数名是角θ的正弦,而非余弦。 2.当两个法向量相对于二面角α⁃l⁃β一个指内,一个指外时,两法向量所成角<n1,n2>即二面角的平面角θ;当两法向量相对于二面角α⁃l⁃β同时指外或同时指内时,两法向量所成角<n1,n2>的补角即二面角的平面角θ。故|cos θ|=|cos<n1,n2>|=。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　异面直线所成的角 　　【例1】　 如图,已知两个正四棱锥P⁃ABCD与Q⁃ABCD的高分别为1和2,AB=4,则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为  。  解析　 由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则AC⊥BD。连接PQ,则PQ过点O。由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD,故以O为坐标原点,以直线CA,DB,QP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以=(-2,0,-2),=(0,2,-1)。于是cos<,>==。所以异面直线AQ与PB所成角的余弦值为。 　　利用向量法求两条异面直线所成角的步骤:(1)确定两条异面直线的方向向量;(2)确定两个向量夹角的余弦值;(3)比较余弦值与0的大小,以确定向量夹角的范围;(4)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条异面直线所成的角。 【变式训练】　正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是  。  解析　 不妨设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=,·=-1+0+4=3。所以cos<,>==。所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为。 类型二　直线与平面所成的角 　　【例2】　 如图所示,三棱锥P⁃ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点。 (1)证明:CM⊥SN; (2)求SN与平面CMN所成角的大小。 解　设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),又AN=AB,M,S分别为PB,BC的中点,所以N,0,0,M1,0,,S1,,0, (1)证明:=1,-1,,=-,-,0,所以·=1,-1,·-,-,0=0,因此CM⊥SN。 (2)=-,1,0,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,所以·a=0,·a=0。则所以取y=1,得a=(2,1,-2)。a·=-1-=-,|a|==3,||==,所以cos<a,>==-。设SN与平面CMN所成的角为θ,则sin θ=|cos<a,>|=,θ=,所以直线SN与平面CMN所成的角为。 　　利用法向量求直线与平面的夹角的步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)求平面的法向量n;(4)计算:设线面角为θ,则sin θ=。 　　【变式训练】　 如图所示,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3。 (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。 　　解　 (1)证明:以A为原点,以,,A的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0),C1(,1,3),D1(0,3,3)。易知=(,1,0),B1=(-,3,-3),所以·B1=0,所以AC⊥B1D。 (2)设平面ACD1的一个法向量为m=(x,y,z),=(,1,0),A=(0,3,3),则即令x=1,则y=-,z=,所以平面ACD1的一个法向量为m=(1,-,)。设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ,因为B1=(0,1,0),所以sin θ==,所以直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。 类型三　两个平面所成的角 　　【例3】　 如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD。△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=DO。 (1)证明:PA⊥平面PBC; (2)求二面角B⁃PC⁃E的余弦值。 解　(1)证明:设DO=a,由题设可得PO=a,AO=a,AB=a,PA=PB=PC=a。因此PA2+PB2=AB2,从而PA⊥PB。又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC。又PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC,所以PA⊥平面PBC。 (2)以O为原点,的方向为y轴正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O⁃xyz。由题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C-,,0,P0,0,。所以=-,-,0,=0,-1,。设m=(x,y,z)是平面PCE的一个法向量,则即可取m=-,1,。由(1)知=0,1,是平面PCB的一个法向量,记n=,则cos<n,m>==。所以二面角B⁃PC⁃E的余弦值为。 　　利用平面的法向量求二面角时应注意以下两点:(1)求解二面角的两个半平面的法向量要正确。(2)求出两向量夹角后,要注意结合图形与已知判断所求得的是二面角的大小,还是它的补角的大小。 【变式训练】　 在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使二面角C⁃DE⁃C1的余弦值为?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由。 　　解　假设存在点E,设AE=a(a>0)。如图,以D为原点,,,D的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D⁃xyz,则有E(3,a,0),C1(0,4,2),D(0,0,0)。设平面DEC1的一个法向量为n=(x,y,z),又D=(0,4,2),=(3,a,0),故⇒令y=1,得x=-,z=-2,即n=,又平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<m,n>=,由题意知=,解得a=3,所以在线段AB上存在点E,AE=3,使二面角C⁃DE⁃C1的余弦值为。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为 (C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角),因为cos<a,b>==,所以<a,b>=60°。l与α所成的角为60°。 2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为 (A) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　由已知得直线l的方向向量和平面α的法向量所夹角为120°,因此l与α所成的角为30°。 3. 在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为 (D) A.30° B.45° C.90° D.60° 解析　以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD⁃A1B1C1D1中棱长为2,因为M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,所以M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-1,0,1),=(-2,2,0),设异面直线AC和MN所成的角为θ,则cos θ===,又θ是锐角,所以θ=60°。所以异面直线AC和MN所成的角为60°。 4. 在三棱锥P⁃ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为  。  解析　以O为原点,射线OA,OB,OP为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,如图,设AB=a,则OP=a,=-a,0,a,可求得平面 PBC的法向量为n=-1,1,,所以cos<,n>==,设与平面PBC所成的角为θ,则sin θ=。 5. 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3。点E在棱PA上,且PE=2EA。求二面角A⁃BE⁃D的余弦值。 解　 以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。则P(0,0,3),A(0,3,0),D(3,3,0)。设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,z),因为=+=+=(0,0,3)+(0,3,-3)=(0,2,1),=(3,3,0),由得取z=1,所以则n1=,-,1。又因为平面ABE的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>==。由图可知二面角A⁃BE⁃D为锐角,所以二面角A⁃BE⁃D的余弦值为。 学科网（北京）股份有限公司 $$