第3章 §3 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

盈学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 情境导入 课程标准 1.掌握空间向量线性运 算的坐标表示。 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个 2.掌握空间向量数量积 力分别为乃，F,F,它们两两垂直，且1F=3000N,IF1=2000N,|F=2000W3N。 的坐标表示 1若以F,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则巨石所受合 力F的坐标是什么？ 2.巨石受到的合力有多大？ 自主预习明新知 1.空间向量运算的坐标表示 (1)空间向量的坐标表示。 在空间直角坐标系0xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量1，，k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向 量的一组基{红，，，这组基叫作标准正交基 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(8y,z),使得广x+y计z水。 反之，任意给出一个三元有序实数组(xy,z),也可找到唯一的一个向量pxi+y升z水与之对应。这样，就在空间向量与三元 有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x,水，z)叫作向量p在标准正交基{i,,下的坐标，记作 p(xy,z)。单位向量i,jk都叫作坐标向量。 设点A(,M,z),武2,2)，则AB=0克-OA多x-2z)。即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (2)空间向量运算的坐标表示。 设向量a=(M,M2),b广(x2,22, ①a+bF(x+&出+y22+2 ②ab(&-&-,②-2 ③Aa-XAvAZA∈R ④a·bF名&+2tza2 2.空间向量平行（共线）和垂直的条件 设向量a(M,2),b(2,,22)。 1X1=x2 y.=Ay: (1)当b≠0时，a∥b3A∈R,使得 当b与三个坐标平面都不平行（卿忍≠0时，a/b一受六：要 z1=1z20 (2)a⊥baa·b0台为+yy2+Z1z20。 3.空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量a(x,2),b(x22,2) aak好+y+2。若点ab,6,a,6,则B=1a2-a+b2-b,+(c2-c xxiy v+22: (②)cos<a,b>-+r+2ty+2(a≠0，b+0). 参微思考 1.若a(,4,bb,a/b则一定有武瓷受成立吗？ 提示不一定，当b,b2,b存在取0值时不成立。 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.当0<cos<a,b><1,及-1<cos<a,b><0时，夹角的范围是？ 提示当0<cos<a,b><1时，0<a,b><气，为锐角。 当-1<cos<a,b><0时，号<a,b><元，为钝角。 合作探究攻重难 类型一空间向量的坐标运算 【例1】(1)已知a(2,-1,2),b(0,-1,4),求a+b,ab,a·b,(2a(-b),(a+)(a)。 解 a+br(2,-1,2)+(0,-1,4)-(2+0,-1-1,-2+4)-(2,2,2:a-b(2,-1,2)-(0,-1,4)-(2-0,-1+1,-2-4-(2,0,6)a·b-(2,-1,2)·(0,-1,4) =2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7:2a)·(b)=2(a·b)-=2×(7)=14;(a+)·(ab)-(2,2,2)·(2,0,6)-2×2+(2)×0+2× (-6)=-8。 (2)已知△ABC中，点A(2,-5,3),AB(41,2),BC(3,-2,5),求顶点B,C的坐标及CA 1x-2=4, 解设点Bxy,z动，C(x,z),所以AB=(x2,y+5,z-3),BC(x-x,1y,a-z)。 因为A丽412，所以y+5=1 解 (z-3=2 1X=6, 1x1-6=3, 1X1=9 得少=-4， 所以B的坐标为(6，-4,5)。因为BC=(3,-2,5),所以 y1+4=-2 解得 y1=-6, 所以C的坐标 z=5, 21-5=5 ,21=10 为(9,6,10)CA-(7,1,-7)。 反思感情 关于空间向量坐标运算的两类问题：(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来然后准确运用空间向量坐标 运算公式计算。（②）由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其 坐标。 【变式训练】(1)已知a=(1,0,-1),b(1,-2,2),c(-2,3,-1),则a-b计2c-48,-5) 解析a-b+2c(1,0,-1)(1,-2,2)+2(2,3,-1)(4,8,-5)。 (②)已知a(1,1,0),b(0,1,1),c=(1,0,1),Fab,qFa+2bc,则D·f-1。 解折因为pa-b(1,0,-1),qFa+2bc-(0,3,1),所以p·qF1×0+0×3+(-1)×1=-1。 类型二用向量运算解决平行与垂直 【例2】(1)已知a(0+1,1,2A),b(6,2mr1,2)。若a∥b,分别求1与m的值。 (②)已知向量a(2,0,1),b(1,2,0),且ka+b与2ab互相垂直，求k的值。 解(1)由a∥b得(0+1,1,2)=k(6,2mr-1,2). 1入+1=6k 入=k= 所以 1=k2m-1 解得 .21=2k m=3, 所以言Γ3。 (2)ka+Fk(2,0,1)+(-1,2,0)(2k-1,2,), 2a-b2(2,0,1)-（-12,0)=(5,-2,2). 所以5(2k-1)4+2k-0,解得k-子。 反思感悟 向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断。（②）利用平行与垂直求参数或解其他问题即平行与垂 直的应用。 解题时要注意：①适当引入参数（比如向量a,b平行，可设a入b),建立关于参数的方程②最好选择坐标形式，以达到简 化运算的目的。 【变式训陈】设xy∈R,向量a(x1,1),b(1y,1),c(2,4,2),且a⊥b,b∥c,则a+bF212)。 解析因为b∥c,所以2y=-4,所以y-2所以b(1,-2,1),因为a⊥b,所以a·x2+1=0,所以x=1,所以a(1,1,1),所以 a+b(2,-1,2)。 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 类型三立体图形中的角与距离 【例3】 B M O C B 己知正三棱柱ABC-A B C,底面边长AB2,AB⊥BC,点O,0分别是边AC,A1C的中点。建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)求三棱柱的侧棱长， ②)若M为BC的中点，试用基向量AAAB,AC表示向量A: (③)求异面直线AB与BC所成角的余弦值。 解()设侧棱长为(b>0),则A(0,-1,0).B(W30,),V30,0),G0,1),所以AB1(√5,1，，BC1-(√5,1，)。因为 AB1BC所以AB1·BC1(W3,1,)·(V31,)=-(W3P412+bP=0解得b2。 ②)因为M为BG的中点，所以AM(AC+A)AA+AC+AB。 3油1知A丽1-5,12)元51,0因为1A丽13+12+(26，BC【-5 +12+02 店西16 2A1·C5,1V)·(5,10(W5P+1×1-2,所以cosA瓦BC62普。所以异面直线品 与BC所成角的余兹值为。 反思感悟 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离问题的步骤：(1)根据几何图研形的特点建立恰当的空间直角坐标系。（②）利用 题设条件写出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标。（③）利用空间向量的夹角公式和模的公式求解。 【变式训练】 0 如图，在长方体0ABC0ABG中，1OA=2,AB=3,AA1-2,E为BC的中点。 ()求AO1与B1E所成角的余弦值： (2)作0D⊥AC于D,求OD的长。 解建立如图所示的空间直角坐标系。 ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A可，BE （1)油已知得2,00,00,02，B2,32,13,0),所以Ad1(2,02,B1它(1,0，-2，所以c0s<Ad1BE>0p后= 2.回 210=-10。 (2)因为01D1ACA而∥AC.而C0,30),设Dxy,0),则01D-(xy2)A-(x2y,0AC(-2,3,0),所以 2x+3y=0, X=13 8 受-号 y=.所以r号器.0所以oD=od12愿. 当堂检测提素养 1.(多选)下列各组空间向量中，平行的是 (ABC) A.a=(1,2,2),br(2,-4,4) B.a=(1,0,0),b(-5,0,0) C.a=(4,0,-2),b(0,0,0) D.a(2,5,-3),b(8,-20,-12) 解析选项A中，b-2a,所以两向量平行，同理B,C的两个向量也平行，D中两个向量不平行。 2.已知向量a=(1,0,1),b(2,0,-2),若(ka+)(a+k)=2,则k的值等于 ) A.1 解析由己知得|a√2，b-2√2，a·b0,所以由(ka+均·(a+k-2可得ka24kb2+(+1)a·b2,即2k+8k-2,解得k 。 3.已知at-2N5,25),ab(02,0,则cosa b-5 解析由已知得a(1V2,V5),r(1,0,5),所以cos<a,b>霜-6x-号。 4.已知a(2,0,1),b(1,0,2),若a⊥(ka+b),则k0。 解析由a⊥(ka+b)知a·(ka+b)=(-2,0,1)· (←-2k+1,0,k+2)=-2(-2k+1)+(k+2)-0,解得k-0。 5.正方体ABCD-ABGD中，E是棱DD的中点，P,Q分别为线段BD,BD上的点，且3B1P-P可1若PQLAF,BDD0,求a的 值。 解 如图所示，以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxwz,设正方体棱长为1，则 A(1,0,0),E0,0方，B(11,0,B(1,1,1),D(0,01),由题意，可设点P的坐标为(a,a1),因为3B1P=Pd1,所以 3e1,a1,0(aa0,所以3a3-a解得星，所以点P的坐标为是，1. 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),因为PQ 上5所以P0·花0所以b星b星，1.（1,00即b专0解得所以点0的坐标为0. 因为8DD0,所以1，-1,0a子，注，0，所以好=1，故1=-4 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究·