第3章 §3 3.1 空间向量基本定理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 3.1　空间向量基本定理 情境导入 课程标准 　　我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙 角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量,这三个空间向量是不共面的。 这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢? 1.了解空间向量基本定理及其意义。 2.掌握空间向量的正交分解。 自主预习明新知 1.空间向量基本定理 如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc。 2.空间的一组基 如果向量a,b,c是空间三个不共面向量,那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可以看成是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫作空间的一组基,其中a,b,c都叫作基向量。 微思考 1.零向量能不能作为一个基向量?为什么? 提示:不能。因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面。 2.在四棱锥O⁃ABCD中,可表示为x+y+z且唯一,这种说法对吗? 提示:由空间向量基本定理知这种说法是正确的。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　用基表示空间向量 　　【例1】　 如图,在三棱柱ABC⁃A'B'C'中,已知AA=a,=b,=c,M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基{a,b,c}表示向量,。 解　连接A'N(图略)。=+BC=+(+CC)=++CC=+(-)+AA=++AA=(a+b+c)。=AA+A'=AA+(A'B+A'C)=AA+(+)=a+b+c。 　　(1)空间中,任一向量都可以用一组基表示,且只要基确定,则表示形式是唯一的。(2)用基表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示。(3)在空间几何体中选择基时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为一组基,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为一组基。 【变式训练】　 如图,四棱锥P⁃OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,OA=aOC=bOP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用基{a,b,c}表示向BFBEAEEF。 解　 连接BO,则==(+)=(c-b-a)=-a-b+c。=+=-a+=-a+(+)=-a-b+c。=+=++(+)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c。由题意得EF􀱀CB,所以===a。 类型二　证明空间位置关系 　　【例2】　 如图所示,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G,G1分别是棱CC1,BC,CD,A1B1的中点。求证: (1)AD1⊥G1G; (2)AD1∥EF。 证明　设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1且a·b=b·c=a·c=0。 (1)因为=b+c,=+++=-a-c+b+a=b-c,所以·=(b+c)·(b-c)=b2-c2=0,所以⊥,所以AD1⊥G1G。 (2)因为=b+c,=-=-=-b-c,所以=-,所以AD1∥EF。 　　【互动探究】在本例条件下,求证:A1G⊥DF。 证明　因为=++=-c+b+a,=+=a-b,所以·=-c+b+a·a-b=a2-b2=0。所以⊥。所以A1G⊥DF。 　　(1)要证两直线垂直,由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,可构造与两直线分别平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可。(2)要证两直线平行,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个向量满足a=λb即可。 【变式训练】　在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,求证:OA⊥BC。 证明　 如图所示,因为·=·(-)=·-·=||||·cos∠AOC-||||·cos∠AOB=0,所以⊥,所以OA⊥BC。 类型三　求夹角与模长 　　【例3】　 如图,正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1,E,F,G,H分别是四面体ABCD中各棱的中点,设=a,=b,=c,试采用向量法解决下列问题。 (1)求的模长; (2)求,的夹角。 解　(1)因为正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是四面体ABCD中各棱的中点,=a,=b,=c,所以==(-)=(b-a),==c。所以=++=-(b-a)-a+c=(c-a-b),所以||2=(c-a-b)2=(c2+a2+b2-2a·c+2a·b-2b·c)=(1+1+1-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°)=,故||=。 (2)在正四面体ABCD中,=(c-a-b),||=。同理,=(b+c-a),||=。所以cos<,>===[(c-a)2-b2]=(c2+a2-2c·a-b2)=(1+1-2×1×1×cos 60°-1)=0,所以与的夹角为90°。 　　求空间向量的夹角及模长问题,首先选好一组基,用基表示相应向量,利用夹角公式及模长公式计算。 【变式训练】　 在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD。 (1)证明:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成角的余弦值。 解　(1)证明:设=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一组基。所以=+=-k+(+)=i+j-k,=+=-i-k,所以·=i+j-k·(-i-k)=-|i|2+|k|2=0,所以EF⊥B1C。 (2)=i+j-k,=+=-k-j,||2=i+j-k2=|i|2+|j|2+|k|2=3,||=,||2=-k-j2=|k|2+|j|2=4+=,||=,所以cos<,>====。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若=3i,=2j,A=5k,则A= (C) A.i+j+k B.i+j+k C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k 解析　A=++C=3i+2j+5k。 2.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若F是侧面CC1D1D的中心,且=+-nA,则m,n的值分别为 (A) A.,- B.-,- C.-, D., 解析　因为=+=+(DD1)AD+AB+AA1,所以m=,n=-。 3.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则|MN|= a 。  解析　=-=+-,||2=(||2+||2+||2)=a2,所以||=a,即|MN|=a。 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,异面直线AC1与BC所成角的余弦值为  。  解析　设正方体棱长为1,=+-,||=,cos<,>===。即异面直线AC1与BC的夹角的余弦值为。 5. 如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1。 (1)求<,>的余弦值; (2)求证:⊥。 解　(1)=+=+,=+=+=-。因为·=0,·=0,·=0,所以·=-·+=。又||=||=,所以cos<,>==。 (2)证明:=+=-+,=+=-(+),所以·=(-+)·-(+)=-(-+)=0,所以⊥。 学科网（北京）股份有限公司 $$