第3章 §2 第2课时 空间向量的数量积(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　空间向量的数量积 情境导入 课程标准 　　已知两个非零向量a与b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB=θ叫作向量a与b的夹角。 如果a与b的夹角为90°,则称a与b垂直,记作a⊥b,已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把a·b=|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)。 两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢? 1.掌握空间向量数量积的定义及性质。 2.掌握投影向量的定义及空间向量数量积的运算律。 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题。 自主预习明新知 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a,b(如图),在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>。 通常规定0≤<a,b>≤π。 在此规定之下,两个向量的夹角被唯一确定,并且<a,b>=<b,a>。 当<a,b>=0时,向量a与b方向相同; 当<a,b>=π时,向量a与b方向相反; 当<a,b>=时,称向量a,b互相垂直,记作a⊥b。 规定:零向量与任意向量垂直。 2.两个向量的数量积 (1)两个向量的数量积的定义。 已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>。 与平面向量类似,空间向量的数量积也是一个实数。 (2)空间向量数量积的性质。 ①cos<a,b>=(a≠0,b≠0); ②|a|=; ③a⊥b⇔a·b=0。 (3)空间向量的数量积运算满足的运算律。 ①交换律:a·b=b·a。 ②分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。 ③(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)。 3.投影向量与投影数量 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1,称向量为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos<a,b>|。 当<a,b>为锐角时,|b|cos<a,b>>0; 当<a,b>为钝角时,|b|cos<a,b><0; 当<a,b>=时,|b|cos<a,b>=0。 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量即a0=,则向量b在向量a方向上的投影向量为=|b|cos<a,b>a0。 因此,称|b|cos<a,b>为投影向量的数量,简称为向量b在向量a方向上的投影数量。 结合空间向量数量积的定义可知:向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos<a,b>==a0·b。 微提醒 向量的夹角与直线夹角范围的区别:两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为。 空间向量数量积不满足结合律。 微思考 1.<a,b>,<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>,它们有什么关系? 提示:<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;<-a,-b>=<a,b>。 2.由a·b=a·c能得到b=c吗? 提示:不能。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的数量积运算 　　【例1】　已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示。求: (1)·; (2)(+)·(+)。 解　在正四面体OABC中,||=||=||=1。<,>=<,>=<,>=60°。 (1)·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=。 (2)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+2·-2·+-2·=12+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1。 　　求空间向量数量积的步骤:(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解。 【变式训练】　(1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b= (A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为p⊥q且|p|=|q|=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1。 (2)已知棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为 (C) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　=+=+(+)=+(+),=+,则·=(||2+||2)=1。故选C。 类型二　利用空间向量数量积求夹角 　　【例2】　如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值。 解　因为=-,所以·=·-·=||||cos<,>-||||·cos<,>=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=-16+24。所以cos<,>===,即OA与BC所成角的余弦值为。 　　利用向量的数量积,求异面直线所成角的方法:(1)根据题设条件在所求的异面直线上分别取两个向量。(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题。(3)利用向量的数量积求角的大小。 【变式训练】　已知空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是 (C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　因为∠ACD=∠BDC=90°,所以·=·=0,所以·=(++)·=·+||2+·=||2=1,所以cos<,>==,所以AB与CD所成的角为60°。 类型三　垂直问题 　　【例3】　如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD。 证明　设A1=a,A1=b,A1=c,则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|。因为A1=A1+=A1+(+)=c+a+b,=-=b-a,=+=(+)+C=a+b-c。所以A1·=·(b-a)=c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·a=(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0。所以A1⊥,即A1O⊥BD。同理可证A1⊥,即A1O⊥OG。又BD∩OG=O,所以A1O⊥平面GBD。 　　利用空间向量解决垂直问题的方法:(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直。(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直应先用向量a,b,c表示向量m,n,再求解向量m,n的数量积并判断是否为0。 【变式训练】　已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC。 证明　 因为AB⊥CD,AC⊥BD,所以·=0,·=0。所以·=(+)·(-)=·+·--·=·--·=·(--)=·=0。所以⊥,从而AD⊥BC。 类型四　距离问题 　　【例4】　在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长。 解　因为=++=+(-)+(-)=-++。所以·=-++·-++=-·-·+·++=a2-a2-a2+a2+a2+a2=a2。故||==a,即|MN|=a。 　　求两点间的距离或线段长度的方法:(1)将此线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用|a|=,通过计算求出|a|,即得所求距离。 【变式训练】　如图所示,在▱ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长。 解　因为=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49。所以||=7,即|PC|=7。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是 (A) A.与A1 B.与C1 C.与A1 D.与B1 解析　四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°。故选A。 2.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则·= (D) A.0 B. C.- D. 解析　·=(+)·=(·+·)=。 3.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是 (C) A.重合 B.平行 C.垂直 D.无法确定 解析　设正方体的棱长为1,A=++A,=C+C1=A-(+),于是A·=(++A)·=0--0+0-0-+1-0-0=0,故A⊥,即AC1与CE垂直。 4. 如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是 (A) A.0 B. C. D. 解析　根据题意可得,·=(++)·(++)=·---=--=×4-1-×4=0,从而得到和垂直,所以直线AE1与GF所成角的余弦值为0。故选A。 5. 如图所示,已知平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD。 证明　设=a,=b,=c,则|a|=|b|。因为=-=b-a,所以·=(b-a)·c=b·c-a·c=|b||c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0。所以⊥,即CC1⊥BD。 学科网（北京）股份有限公司 $$