2.2空间向量的运算(第二课时))导学案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

高 二 年级 数学 学科导学案 命题 班级 学号 姓名 得分 课题：空间向量的运算(第二课时) 【学习目标】1．通过空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养． 2．通过共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养． 3．通过空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养． 4．借助空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养． 【重点难点】1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点)；2．理解共线向量基本定理及推论．(重、难点) 3．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点) 4．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点) 5．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 【学习流程】 ◎基础感知 ◎探究未知 一、知识点梳理 1．向量的数乘运算 定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何定义 λ＞0 λa与向量a方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 2．共线向量基本定理 空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． 问题1：若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 问题2：在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？ 3．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量 垂直 当〈a，b〉＝时，a⊥b；a·b＝0 规定：零向量与任意向量垂直 问题3：〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？ 4．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b． (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)数量积的性质 两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|． 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) |a·b|≤|a|·|b| 5．投影向量与投影数量 ①如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|． ②如图，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． ③数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积． 例1．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 例2．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是(　　) A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2 B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2 C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－e2 例3．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(　　) A．－2　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．2 二、空间向量的数乘运算 例4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示． 跟踪训练：本例中试用，，表示． 三、向量共线问题 方法技巧：向量共线的判定方法 判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝aλ(a≠0)成立． 例5. 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线． 跟踪训练：在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明：与共线． 四、点共线问题 方法技巧：证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ