第3章 §2 第1课时 从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　空间向量与向量运算 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 情境导入 课程标准 　　第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心(上海)举办。某参展商打算在博览会结束 后从会展中心(O)出发乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,最后登上东方明珠(D)俯瞰上海美丽的夜景,如图所示。该参展商的合位移如何用向量表示? 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念。 2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程,了解空间向量的运算法则。 自主预习明新知 1.空间向量的概念及表示方法 (1)空间向量的概念。 与平面向量类似,在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。 (2)空间向量的表示。 与平面向量类似,空间向量也有两种表示法:①用有向线段来表示,如以点A为起点、点B为终点的有向线段可以表示一个向量,记作向量。点A叫作向量的起点,点B叫作向量的终点,有向线段的方向表示向量的方向。②用a,b,c,…表示,书写用,,,…表示。 (3)向量的长度或模。 向量的大小叫作向量的长度或模。表示向量 a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模,用|a|表示。 (4)几类特殊的空间向量。 名称 定义及表示 零向量 模为0的向量叫作零向量,记为0。 规定:零向量与任意向量平行 单位向量 模为1的向量叫作单位向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示 相等向量 方向相同且模相等的向量叫作相等向量 共线向量 (平行向量) 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量) 共面向量 平行于同一平面的向量,叫作共面向量 2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 加法 a+b=+= 减法 a-b=-= 数乘 向量λa的长度和方向满足: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,向量λa与向量a方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0 线性运 算的运 算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a; (3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb。(λ,μ∈R) 3.共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”) 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb。 4.共面向量定理 已知空间向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y),使p=xa+yb。 微提醒 共面向量定理的推论:已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系式=x+y+z,其中x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面。 微思考 1.共面向量是不是向量在同一平面内? 提示:共面向量是指与同一平面平行的向量,可将共面向量平移到同一个平面内。共面向量所在的直线可能相交、平行或异面。 2.空间任意两个向量是否一定共面?三个向量呢? 提示:空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量可能共面,也可能不共面。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的有关概念 　　【例1】　(1)下列说法中正确的是 (D) A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向相同或相反 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 解析　若单位向量的方向不同,则不是相等的单位向量,A不正确;0与它的相反向量相同,B不正确;若|a|=|b|,只表示a与b的长度相等,方向不一定相同或相反,C不正确;相反向量的长度一定相等,D正确。 (2)如图所示,以长方体ABCD⁃A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中: ①试写出与相等的所有向量; ②试写出的相反向量; ③若|AB|=|AD|=2,|AA1|=1,求向量的模。 解　①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及。 ②向量的相反向量为,,,。 ③||====3。 　　利用向量的概念解题时的注意点:(1)熟练掌握空间向量的有关概念是解决问题的关键;(2)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素:大小和方向,两者缺一不可,相互制约。 【变式训练】　(多选)下列命题是真命题的是 (CD) A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 B.若向量,满足||>||,则> C.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,必有= D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p 解析　A是假命题,当两向量起点相同,终点相同时两向量相等,但两向量相等不一定起点相同,终点相同;B是假命题,向量的模长可以比较大小,但向量不能比较大小;C是真命题,与方向相同且模相等;D是真命题,由相等向量的定义可知此命题为真命题。 类型二　空间向量的线性运算 　　【例2】　已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在平面ABCD上的投影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求下列各式中x,y的值。 (1)=++; (2)=++。 解　(1)如图所示,=+,由向量求和的平行四 边形法则可得=(+),所以=--,所以=+=--。所以x=-,y=-。 (2)因为=+=+2=+2(-)=+2-2。所以x=2,y=-2。 　　(1)对向量进行分解或对向量表达式进行化简时,要准确运用空间向量加法、减法的运算法则,要熟悉数乘向量运算的几何意义,同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化。(2)在△ABC中,若D为BC边的中点,则=(AC),这一结论可视为向量形式的中点公式,应用非常广泛,应熟练掌握。 【变式训练】　如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC的中点。 (1)化简:A1--; (2)设E是棱DD1上的点,且=D,若=++zA,试求实数x,y,z的值。 解　(1)A1-(+)=A1-=。 (2)=-=(+)--A=--A,所以x=,y=-,z=-。 类型三　向量共线问题 　　【例3】　 如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且=,=。求证:四边形EFGH是梯形。 证明　因为E,H分别是AB,AD的中点,所以=,=,=-=-=(-)==(-)==-=。所以∥且||≠||。又F∉EH,所以四边形EFGH是梯形。 　　判断或证明a,b共线即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而由共线向量定理得到b∥a。 【变式训练】　 如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且A1=2E,点F在体对角线A1C上,且A1=。求证:E,F,B三点共线。 证明　设=a,=b,A=c。因为A1=2E,A1=,所以A1=A1,A1=A1,所以A1==b,A1=(-A)=(+-A)=a+b-c,所以=A1-A1=a-b-c=a-b-c。又=E+A1+=-b-c+a=a-b-c。所以=,又因为与有公共点E,所以E,F,B三点共线。 类型四　向量共面问题 　　【例4】　 如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1。求证:A,E, C1,F四点共面。 证明　因为六面体ABCD⁃A1B1C1D1是平行六面体,所以===,所以=,=,=+=+=+,=+=+=+,所以+=++=++。又=++,所以=+,所以由向量共面的充要条件知A,E,C1,F四点共面。 　　利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件,向量共面的充要条件的实质是:共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量。 【变式训练】　已知A,B,C三点不共线,点M满足=++。 (1),,三个向量是否共面? (2)点M是否在平面ABC内? 解　(1)因为++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--,所以向量,,共面。 (2)由(1)知向量,,共面,又它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,所以M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.+-= (C) A. B. C. D. 解析　+-=+=。 2.(多选)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列互为相反向量的是 (ACD) A.+与+ B.-与- C.-与- D.+++与+++ 解析　A中是一对相反向量;B中是一对相等向量;C中是一对相反向量;D中是一对相反向量。 3.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 (C) A.=2-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 解析　C选项中,因为=--,所以点M,A,B,C共面。故选C。 4.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若△BCD是正三角形,且E为其中心,则+--的化简结果为 0 。  解析　连接DE并延长交BC于点F,连接AF(图略),则=,所以+-DEADABBFDFDAAFFDDA=0。 5.已知向量a,b,c不共面,且p=3a+2b+c,m=a-b+c,n=a+b-c,试判断p,m,n是否共面。 解　设p=xm+yn,即3a+2b+c=x(a-b+c)+y(a+b-c)=(x+y)a+(-x+y)b+(x-y)c。因为a,b,c不共面,所以而此方程组无解,所以p不能用m,n表示,即p,m,n不共面。 学科网（北京）股份有限公司 $$