第3章 §1 空间直角坐标系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第三章　空间向量与立体几何 §1　空间直角坐标系 情境导入 课程标准 　　我们知道数轴上的任意一点M都可用与它对应的一个实数表示;在直角坐标平面上任意一点M可用一个有序实数对(x,y)表示。如图,怎样确切的表示室内电灯的位置? 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置。 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。 自主预习明新知 1.空间直角坐标系 如图,过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O⁃xyz。其中点O叫作坐标原点,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴。通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 在平面上画空间直角坐标系O⁃xyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90° 一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面。它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向。我们也称这样的坐标系为右手系 2.点在空间直角坐标系中的坐标 空间一点P的坐标可用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示,三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标。 3.空间两点间的距离公式 (1)点P(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|=。 (2)空间中任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)间的距离|PQ|=。 微思考 1.x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点?xOy平面上、yOz平面上、zOx平面上的点的坐标有何特点? 提示:x轴上的点的坐标可表示为(x,0,0),y轴上的点的坐标可表示为(0,y,0),z轴上的点的坐标可表示为(0,0,z),xOy平面上的点的坐标可表示为(x,y,0),yOz平面上的点的坐标可表示为(0,y,z),zOx平面上的点的坐标可表示为(x,0,z)。 2.已知r为定值,那么x2+y2+z2=r2表示什么图形? 提示:由距离公式知,当r≠0时,表示以原点为球心,|r|为半径的球面;当r=0时,表示坐标原点。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间中点的坐标的确定 　　【例1】　在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,|AD|=3,|AB|=5,|AA1|=4,建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标。 解　 如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O⁃xyz。所以D(0,0,0)。已知长方体的棱长|AD|=3,|DC|=|AB|=5,|DD1|=|AA1|=4,因为点A在x轴上,且|AD|=3,则它的横坐标为3,又它的纵坐标和竖坐标都为0,所以点A的坐标为(3,0,0)。同理,C(0,5,0),D1(0,0,4)。点B在x轴、y轴、z轴的投影分别为A,C,O,所以点B的坐标为(3,5,0)。同理得A1(3,0,4),C1(0,5,4)。由B1在xOy平面内的投影为B(3,5,0),所以B1的横坐标为3,纵坐标为5,因为B1在z轴上的投影为D1(0,0,4),所以B1的竖坐标为4,所以点B1的坐标为(3,5,4)。 　　建系确定点坐标的原则:(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性。(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的投影,确定坐标轴(坐标平面)上点的坐标,再找出它在另两个轴上的投影,确定点的坐标。 【变式训练】　如图,棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标。 解　如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系D⁃xyz,E点在xDy平面中,则它的竖坐标为0,又E点在y轴上的投影是E'点,为DC的中点,所以|DE'|=|EA|=,则它的纵坐标为,E点在x轴上的投影是A点,|AD|=1,则它的横坐标为1。所以E点的坐标为1,,0。同理B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1),因为F是BB1的中点,故F点坐标为1,1,。同理可得G点坐标为1,,。 类型二　求空间对称点的坐标 　　【例2】　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4)。 (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标。 解　(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4)。 (2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P2(-2,1,-4)。 (3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3的坐标为(6,-3,-12)。 　　空间点的对称规律:(1)口诀:求对称点的问题可以用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的口诀来记忆。(2)任意一点P(x,y,z),关于原点对称的点是P1(-x,-y,-z);关于x轴(横轴)对称的点是P2(x,-y,-z);关于y轴(纵轴)对称的点是P3(-x,y,-z);关于z轴(竖轴)对称的点是P4(-x,-y,z);关于xOy平面对称的点是P5(x,y,-z);关于yOz平面对称的点是P6(-x,y,z);关于zOx平面对称的点是P7(x,-y,z)。 【变式训练】　在空间直角坐标系中,点A(1,2,-1)关于x轴对称的点的坐标是 (1,-2,1) ;关于xOy平面对称的点的坐标是 (1,2,1) ;关于原点对称的点的坐标是 (-1,-2,1) 。  类型三　空间两点间的距离公式及应用 　　【例3】　 如图所示,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,点N在D1C上且为D1C的中点,求线段MN的长度。 　　解　 如图所示,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2),因为N为CD1的中点,所以N,3,1。M是A1C1的三等分点且靠近A1点,所以M(1,1,2)。由两点间的距离公式,得|MN|==。 　　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的步骤 　　【变式训练】　 如图所示,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度。 　　解　以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系C⁃xyz。因为|C1C|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以|DE|==,|EF|==。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,则|AB|= (D) A. B.38 C. D.10 解析　易知点B的坐标为(2,-3,-5),所以|AB|==10。 2.如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,则顶点A的坐标是 (C) A.(-1,-1,-1) B.(1,-1,1) C.(1,-1,-1) D.(-1,1,-1) 解析　依据空间中点的坐标的定义,可得点A的坐标是(1,-1,-1)。故选C。 3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 (D) A.-3或4 B.-6或2 C.3或-4 D.6或-2 解析　由|AB|=2,得=2,即x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2。故选D。 4.设点A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则线段AB的中点M到点C的距离|CM|=  。  解析　因为AB的中点M2,,3,C(0,1,0),所以|CM|==。 5.若点A(-1,2,-3)关于y轴的对称点为B,则AB的长为 2 。  解析　因为A(-1,2,-3)关于y轴的对称点B(1,2,3),所以|AB|==2。 学科网（北京）股份有限公司 $$