课时达标检测(16) 抛物线及其标准方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(十六)　抛物线及其标准方程 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当定点在定直线上时,点P的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离。故选B。 2.已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是 (C) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析　方程5=|3x+4y-12|可化为=,它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x+4y-12=0的距离,由抛物线的定义,可知动点M的轨迹是抛物线。故选C。 3.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为 (B) A. B.- C.8 D.-8 解析　因为y=ax2(a≠0)化为标准方程为x2=y,其准线方程为y=2,所以2=,所以a=-。故选B。 4.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是 (D) A.y2=x B.x2=y C.y2=-x或x2=-y D.y2=-x或x2=y 解析　因为点(-2,3)在第二象限,所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0)。又点(-2,3)在抛物线上,所以9=4p,p=或4=6p',p'=,从而所求抛物线方程为y2=-x或x2=y。故选D。 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为 (C) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析　因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F,0。设M(x,y),由抛物线的定义,知|MF|=x+=5,得x=5-。因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为。由已知,得圆的半径也为,所以该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M5-,4,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8。所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x。故选C。 6.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,过M作抛物线C的准线的垂线,垂足为N,若∠MFO=120°(O为坐标原点),△FMN的周长为12,则|NF|= (A) A.4 B. C.3 D.5 解析　因为∠MFO=120°,所以∠FMN=60°。又M是抛物线C上一点,所以|FM|=|MN|,则△FMN是等边三角形。又△FMN的周长为12,所以|NF|==4。故选A。 二、多项选择题 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值可以为 (AD) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析　由题可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由定义知点P到准线的距离为4,故+2=4,所以p=4,所以x2=-8y,将点P的坐标代入x2=-8y,得m2=-8×(-2),解得m=±4。 8.对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是 (BD) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 解析　抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B满足,A不满足;设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以C不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,0,设过该焦点的直线方程为y=kx-,当由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,k=-2,此时满足条件的直线存在,所以D满足。故选BD。 三、填空题 9.抛物线方程为7x+4y2=0,则焦点坐标为 -,0 。  解析　抛物线方程化为y2=-x,所以抛物线开口向左,2p=,=,故焦点坐标为-,0。 10.以椭圆+y2=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 y2=4x 。  解析　由+y2=1得右焦点为(,0),所以抛物线的标准方程为y2=4x。 11.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 y2=8x(x>0)或y=0(x<0) 。  解析　若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是除去顶点的抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴。 四、解答题 12.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,,求抛物线和双曲线的方程。 解　设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点,在抛物线上可得()2=2p·,解得p=2。故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1。因为抛物线的准线过双曲线的一个焦点,所以c=1,即a2+b2=1。故双曲线方程为-=1。因为点,在双曲线上,所以-=1,解得a2=或a2=9(舍去)。所以b2=,故所求双曲线的方程为4x2-y2=1。 13. 如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为点B,OB的中点为M。 (1)求抛物线的方程; (2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标。 解　(1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-,于是4+=5,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x。 (2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2)。又F(1,0),所以kAF=,则直线FA的方程为y=(x-1)。因为MN⊥FA,所以kMN=-,则直线MN的方程为y=-x+2。解方程组得所以N,。 素养升级 14.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为M,点P在抛物线上,且|PM|=|PF|,则△PMF的面积为 (B) A.4 B.8 C.16 D.32 解析　 如图所示,易得F(2,0),过点P作PN⊥l,垂足为N。因为|PM|=|PF|,|PF|=|PN|,所以|PM|=|PN|。所以|MN|=|PN|。设P,t则|t|=+2,解得t=±4,所以△PMF的面积为·|t|·|MF|=×4×4=8。 15. 如图所示,A地在B地东偏北45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km。已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电。 (1)试建立适当的直角坐标系,求公路PQ所在曲线的轨迹方程; (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短?并求出最短长度。 解　(1)如图,以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的中点O为原点,建立直角坐标系xOy,则B(0,2),A(2,4)。因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l为准线的抛物线。设抛物线方程为x2=2py(p>0),则p=4,故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y。 (2)要使架设电路所用电线长度最短,即|MA|+|MB|值最小。如图所示,过M作MH⊥l,垂足为H,依题意得|MB|=|MH|,所以|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,故当A,M,H三点共线时,|MA|+|MH|取得最小值,即|MA|+|MB|取得最小值时,M2,。变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时,所用电线长度最短,最短长度为6 km。 学科网（北京）股份有限公司 $$