第2章 圆锥曲线 测评卷(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(C) A.(0,1) B.(1,0) C. D. 解析　抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,即p=,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为。 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为(C) A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+=1 解析　由题意,得解得所以椭圆的方程为+=1或+=1。 3.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q。则线段FQ的垂直平分线(B) A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 解析　连接PF,由题意及抛物线的定义可知|PQ|=|FP|,则△QPF为等腰三角形,故线段FQ的垂直平分线经过点P。故选B。 4.设P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=(C) A.1或5 B.6 C.7 D.8 解析　双曲线-=1的一条渐近线方程为3x-2y=0,故a=2。又P是双曲线上一点,故||PF1|-|PF2||=4,而|PF1|=3,则|PF2|=7。 5.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于(B) A. B. C. D. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0。根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以=,所以e=。 6.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为。P是C上一点,且F1P⊥F2P。若△PF1F2的面积为4,则a=(A) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　解法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,又e==,所以a=1。故选A。 解法二:由题意得==4,即b2=4,又=5,c2=b2+a2,所以a=1。 7.设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l。若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(D) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 解析　解法一:由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+=1,而-=1的渐近线方程为+=0和-=0,由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1。故选D。 解法二:由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为x±y=0,排除B,C。又知y2=4x的焦点坐标为(1,0),l过点(1,0),(0,b),所以=-1,b=1。故选D。 8.我们把由半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点。若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(A) A.,1 B.,1 C.5,3 D.5,4 解析　因为|OF2|==,|OF0|=c=|OF2|=,所以b=1,所以a2=b2+c2=1+=,得a=。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可能为(BD) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　因为椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,所以解得a=5,b2=25-16=9。所以当椭圆焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1;当椭圆焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1。 10.如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心。设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则下列结论正确的是(ABC) A.c1=a2+c2 B.a1+c1>2(a2+c2) C.e2=2e1-1 D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 解析　由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心,则a1=2a2,且|PF|=a1-c1=a2-c2。对于A选项,2a2-c1=a2-c2,所以c1=a2+c2,A选项正确;对于B选项,因为a1=2a2,c1=a2+c2>2c2,所以a1+c1>2a2+2c2=2(a2+c2),B选项正确;对于C选项,因为c1=a2+c2,所以e1====e2+,即2e1=e2+1,所以e2=2e1-1,C选项正确;对于D选项,因为e2=2e1-1=(e1-1)+e1<e1,所以椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆,D选项错误。故选ABC。 11.过抛物线C:y2=8x的焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于P,Q两点(点P在第一象限),以PF,QF为直径的圆分别与y轴相切于A,B两点,则下列结论正确的是(ABC) A.抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为(2,0) B.|PQ|= C.|AB|= D.M为抛物线C上的动点,N(2,1),则(|MF|+|MN|)min=6 解析　 由题意可得抛物线的焦点F的坐标为(2,0),所以A正确;由题意设直线PQ的方程为y=(x-2),与抛物线方程联立整理可得3x2-20x+12=0,解得x=或x=6,代入直线PQ的方程可得P(6,4),Q,所以|PQ|=6++4=,所以B正确;因为P(6,4),Q,所以PF,QF的中点分别为(4,2),,所以由题意可得A(0,2),B,所以|AB|=2+=,所以C正确;如图,点M在抛物线上,ME垂直准线于E,可得|MF|=|ME|,所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥|NE|=2+2=4,当N,M,E三点共线时,|MF|+|MN|最小,且最小值为4,所以D不正确。 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 (3,0) ;C的焦点到其渐近线的距离是  。  解析　双曲线C:-=1中,c2=6+3=9,所以c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±x,即y=±x,即x±y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d==。 13.斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=  。  解析　由题意得直线方程为y=(x-1),联立方程得3x2-10x+3=0,所以xA+xB=,故|AB|=1+xA+1+xB=2+=。 14.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m。水位下降1 m后,水面宽为 2 m;已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,则A,B两点间的距离|AB|= 10 。  解析　以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向。设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-2,-2)代入x2=-2py,解得p=1,所以x2=-2y。水位下降1 m后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x0,-3),则有=6,解得x0=±,所以水面宽为2 m。抛物线方程为x2=-2y,焦点,直线方程为y=2x-,联立方程得4y2+36y+1=0,有y1+y2=-9,因为焦点在y轴负半轴,由焦点弦公式得|AB|=-(y1+y2)+p=10。 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)命题p:方程-=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:方程+=1表示双曲线。 (1)若命题p为真命题,求m的取值范围; (2)若命题q为假命题,求m的取值范围。 解　(1)根据题意,得解得0<m<2,故命题p为真命题时,m的取值范围为(0,2)。 (2)若命题q为真命题,则(m+1)(m-1)<0,解得-1<m<1,故命题q为假命题时,m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)。 16.(本小题满分15分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E。 (1)求动点C的轨迹方程; (2)已知直线l2交轨迹E于P,Q两点,且PQ中点的纵坐标为2 ,则|PQ|的最大值为多少? 解　(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离,知点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所以所求轨迹的方程为x2=4y。 (2)由题意易知直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,|PQ|=4。当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则有=4y1,=4y2,两式作差得-=4(y1-y2),即得k==,则直线l2的方程为y-2=(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0。Δ>0⇒-2<t<2。由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8。|PQ|===≤6,当且仅当8-t2=4+t2,即t=±时,等号成立。即|PQ|的最大值为6。 17.(本小题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2。 (1)求椭圆C的方程; (2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足=+,求四边形OAPB的面积。 解　(1)由题意知c=1,a=2,则b=,故椭圆C的方程是+=1。 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),设直线l:y=kx+m。由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,故Δ=48(4k2+3-m2)>0且由=+,可得且点P在椭圆C上,四边形OAPB为平行四边形,所以+=1,其中x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,代入+=1,化简可得4m2=3+4k2。|AB|=|x1-x2|=,坐标原点到直线l的距离d=。所以四边形OAPB的面积S=|AB|d===3。 18.(本小题满分17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b。 (1)求椭圆C的方程; (2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求的值。 解　(1)因为a=2b,所以椭圆的方程为+=1,又因为椭圆过点A(-2,-1),所以有+=1,解得b2=2,a2=8,所以椭圆C的方程为+=1。 (2)由题意知直线MN的斜率存在。当直线MN的斜率为0时,不妨设M(-2,0),N(2,0),则直线MA:y=(x+2),直线NA:y=(x-2),则yp=,yQ=-,=1。当直线MN的斜率不为0时,设直线MN:x=my-4(m≠0),与椭圆方程+=1联立,化简得(m2+4)y2-8my+8=0,Δ=64m2-32(m2+4)=32(m2-4)>0,解得m2>4。设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=。直线MA的方程为y+1=(x+2),则P,即P。直线NA的方程为y+1=(x+2),则Q,即Q。所以=·====1。综上,=1。 19. (本小题满分17分)如图,小明同学先把一根直尺固定在画板上面,把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿,再取一根细绳,它的长度与另一直角边相等,让细绳的一端固定在三角板的顶点A处,另一端固定在画板上的点F处,用铅笔尖扣紧绳子(使两段细绳绷直),靠住三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象。已知细绳长度为3,经测量,当笔尖运动到点P处,此时,∠FAP=30°,∠AFP=90°。设直尺边沿所在直线为a,以过点F且垂直于直尺的直线为x轴,以过点F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系。 (1)求曲线C的方程; (2)斜率为k的直线l过点D(0,-3),且与曲线C交于不同的两点M,N,已知k的取值范围为(0,2),探究:是否存在λ,使得=λ,若存在,求出λ的范围,若不存在,说明理由。 解　(1)根据题意建立平面直角坐标系,如图①。依题意,笔尖到点F的距离与它到直线a的距离相等,因此笔尖留下的轨迹为以F为焦点,a为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则F,由∠FAP=30°,∠AFP=90°,|PF|+|PA|=3,得|PA|=2|PF|,|PF|=1, ① 由∠FPA=60°,得点P的横坐标为-,而抛物线的准线方程为x=-,则-+=1,解得p=,所以轨迹C的方程为y2=3x。 (2)假设存在λ,使得=λ,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=kx-3, ② 由消去y,得k2x2-(6k+3)x+9=0,而k∈(0,2),Δ=(6k+3)2-36k2=36k+9>0,x1+x2=,x1x2=,++2===++4,由=λ得x1=λx2,即λ=,于是λ+=++2,令t=∈,++2=t2+4t+2=(t+2)2-2∈,因此λ+>,又λ>0,即λ2-λ+1>0,解得0<λ<或λ>4,所以存在λ∈∪(4,+∞),使得=λ成立。 学科网（北京）股份有限公司 $$