第2章 §3 3.1 抛物线及其标准方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 情境导入 课程标准 　　将一把直尺固定在画板上,再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l),然后取一根细绳,它的长度与另一条直角边AB相等,细绳的一端固定在三角板顶点A处,另一端固定在画板上的点F处。用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子,并靠住三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线,即点P的轨迹。这条曲线上的点有什么特征? 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程。 2.通过抛物线图形与方程的学习进一步体会数形结合的思想。 自主预习明新知 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线。 这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线。 2.抛物线标准方程的几种形式 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 续表 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点 坐标 准线 方程 x=- x= y=- y= p的 几何 意义 焦点到准线的距离 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　抛物线的定义及应用 　　【例1】　已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点的坐标。 解　将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±。因为>2,所以A在抛物线内部,如图所示。 设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d。由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为。即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2。所以点P坐标为(2,2)。 　　抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等。 【变式训练】　若将例1中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值。 解　 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离。由图可知,点P,点(0,2)和抛物线的焦点F,0三点共线时距离之和最小,所以距离之和的最小值d==。 类型二　抛物线的标准方程 　　命题方向1:由标准方程求焦点与准线 　　【例2】　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程。 (1)y2=-14x; (2)5x2-2y=0; (3)x=ay2(a≠0)。 解　(1)由题意知p=7,所以焦点坐标是-,0,准线方程是x=。 (2)将抛物线方程化为标准形式,得x2=y,所以p=,所以焦点坐标是0,,准线方程是y=-。 (3)抛物线方程x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=x,所以抛物线x=ay2的焦点坐标为,0,准线方程是x=-。 　　抛物线x=ay2与y=ax2的焦点坐标分别为,0,0,,形式上不随a的正负而改变。 【变式训练】　已知函数y=2x在区间[0,1]上的最大值为a,则抛物线=ax的准线方程是 (B) A.x=-3 B.x=-6 C.x=-9 D.x=-12 解析　函数y=2x在[0,1]上的最大值a=2,所以抛物线方程为=2x,即y2=24x,其准线方程为x=-6,故选B。 　　命题方向2:由定义法求标准方程 　　【例3】　若位于y轴右侧的动点M到F,0的距离比它到y轴的距离大。求点M的轨迹方程。 解　由于位于y轴右侧的动点M到F,0的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F,0的距离与它到直线l:x=-的距离相等。由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而=,所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0)。 　　解决轨迹为抛物线问题的方法:抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解。后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件。 【变式训练】　已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程。 解　设动点M(x,y),圆M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线的抛物线,所以=3,所以p=6,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x。 　　命题方向3:由待定系数法求标准方程 　　【例4】　求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点M(-6,6); (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上。 解　(1)由于点M(-6,6)在第二象限,所以过M的抛物线开口向左或向上。若抛物线开口向左,则焦点在x轴上,设其方程为y2=-2p1x(p1>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),解得p1=3,所以抛物线的方程为y2=-6x。若抛物线开口向上,则焦点在y轴上,设其方程为x2=2p2y(p2>0),将点M(-6,6)代入,可得36=2p2×6,解得p2=3,所以抛物线的方程为x2=6y。综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y。 (2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦点F可以是(2,0),设抛物线的标准方程是y2=2p3x(p3>0),则=2,p3=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x。②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),所以抛物线的焦点F可以是(0,-3),设抛物线的标准方程是x2=-2p4y(p4>0),则=3,p4=6,所以抛物线的标准方程是x2=-12y。综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y。 　　若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出p的值即可得解。若焦点位置无法确定,则需分类讨论。特别地,已知抛物线上一点的坐标,一般能求出两个标准方程。 【变式训练】　根据下列条件分别求抛物线的标准方程。 (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点; (2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5。 解　(1)双曲线方程可化为-=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且-=-3,所以p=6,所以抛物线的方程为y2=-12x。 (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),由抛物线定义,得5=|AF|=m+。又(-3)2=2pm,所以p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是 (A) A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 解析　动点P的条件满足抛物线的定义。故选A。 2.若抛物线x2=4y上的点P(m,n)到其焦点的距离为5,则n= (D) A. B. C.3 D.4 解析　由题意知,抛物线的准线方程为y=-1,点P(m,n)到直线y=-1的距离也是5,所以n=4。故选D。 3.已知抛物线y=mx2(m>0)的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,则m=  。  解析　将抛物线y=mx2(m>0)的方程化为标准方程是x2=y,所以其焦点是0,,因为抛物线y=mx2(m>0)的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,因此-2=2,解得m=。 4.抛物线y=2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为  。  解析　由题意得,抛物线的标准方程为x2=y,准线方程为y=-,设点M(x0,y0),根据抛物线的定义可知,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,所以y0+=1,解得y0=。 5.抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为4,求抛物线的标准方程。 解　因为P(m,1)在抛物线上,所以可设抛物线方程为x2=2py(p>0)。由抛物线的定义可知,P(m,1)到准线y=-的距离为4,所以1-=4,解得p=6,所以抛物线的标准方程为x2=12y。 学科网（北京）股份有限公司 $$