第2章 §1 1.1 椭圆及其标准方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 情境导入 课程标准 　　 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出一个图形。画出的图形是什么? 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程。 自主预习明新知 1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆。 这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距。 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图象 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 b2=a2-c2 微提醒 1.(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆。 (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段。 (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在。 2.椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上。 (2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与的平方和或关于与的平方和,并且分母为不相等的正值。 微思考 1.如何根据椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置? 提示:判断椭圆焦点在哪个坐标轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”。 2.在椭圆的标准方程中,a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　椭圆的定义及应用 　　命题方向1:定义的直接应用 　　【例1】　(1)下列说法正确的是 (C) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析　选项A中虽满足到两定点的距离之和大于8,但未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是椭圆;选项B中这样的点的轨迹不存在;选项C中,点(5,3)到F1,F2的距离之和为4>|F1F2|,适合该条件的点的轨迹是椭圆;选项D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 (2)椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为 5 。  解析　由椭圆方程+=1知a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF2|=5。 　　椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a 【变式训练】　(1)椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于 3 。  解析　设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=8,知|MF2|=8-2=6。又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|=|MF2|=3。 (2)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2是它的焦点。过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长。 解　 如图,因为|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a。 　　命题方向2:焦点三角形 　　【例2】　已知点P是椭圆+=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积。 解　由椭圆方程+=1,可得a=,b=2,c==1。在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 30°,所以4=(2)2-(2+)|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=16(2-)。所以=|PF1|·|PF2|·sin 30°=8-4。 　　在椭圆中,由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多。要解决这些题目,我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,这就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系。在解题中,经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理。 【变式训练】　已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|。 (1)求点P的轨迹方程; (2)若∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面积。 解　(1)依题意知|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,故所求点P的轨迹方程为+=1。 (2)设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=2a=4。在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,所以4=(m+n)2-2mn(1+cos 120°),解得mn=12。所以=mnsin∠F1PF2=×12sin 120°=3。 类型二　椭圆的标准方程 　　【例3】　求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点P,,Q0,-的椭圆的标准方程。 解　解法一:当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)。依题意,有解得由a>b>0,知不合题意,故舍去。当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)。依题意,有解得所以所求椭圆的标准方程为+=1。 解法二:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)。则解得所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故椭圆的标准方程为+=1。 　　待定系数法求椭圆标准方程的步骤:(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两个坐标轴上都有可能。(2)设方程:①依据上述判断设方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0);②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)。(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组。(4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求。 【变式训练】　(1)(多选)已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值可以是 (AD) A.3 B.- C.1 D.- 解析　由题知m2>m+2>0,得-2<m<-1或m>2,故选AD。 (2)求经过两点(2,-),-1,的椭圆的标准方程。 解　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)。将两点(2,-),-1,代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1。 类型三　与椭圆有关的轨迹问题 　　【例4】　已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18。求这个三角形的顶点A的轨迹方程。 解　 以过B,C两点所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示。由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0)。由|AB|+|AC|+|BC|=18得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上。由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9。所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0)。 　　利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由题意找到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方程。 【变式训练】　已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程。 解　 如图,设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r。又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10,所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|=6)。所以圆心P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆。所以2a=10,2c=|AB|=6。所以a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16。所以圆心P的轨迹方程为+=1。 与椭圆有关的最值问题 【典例1】　已知F是椭圆C:+y2=1的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q(4,3),则|PQ|+|PF|的最大值为 () A.5 B.3 C. D.4 【思路分析】　由题意,设椭圆C的右焦点为F'(1,0),由已知条件推导出|PQ|+|PF|=|PQ|+2-|PF'|,利用Q,F',P共线,可得|PQ|+|PF|的最大值。 【解析】　由题意,点F为椭圆C:+y2=1的左焦点,所以F(-1,0)。因为点P为椭圆C上任意一点,点Q的坐标为(4,3),设椭圆C的右焦点为F'(1,0),所以|PQ|+|PF|=|PQ|+2-|PF'|=2+|PQ|-|PF'|,因为|PQ|-|PF'|≤|QF'|=3,所以|PQ|+|PF|≤5,即最大值为5,此时Q,F',P共线。故选A。 【答案】　A 　　本题最值问题主要应用椭圆的定义。 【典例2】　已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|的最大值是　　　　。  【思路分析】　由椭圆定义建立|PF1|与|PF2|的关系,然后利用基本不等式求最大值。 【解析】　依题意知a=10,由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|≤2=100,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,故|PF1|·|PF2|的最大值是100。 【答案】　100 　　本题中的最值应用了均值不等式。 当堂检测提素养 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是 (A) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析　因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆。故选A。 2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为 (C) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　由c=8,a=10,得b=6,故标准方程为+=1。故选C。 3.“1<m<2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的 (C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则解得1<m<2,故“1<m<2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。故选C。 4.椭圆+=1的焦点坐标是 (-1,0),(1,0) 。  解析　因为a2=5,b2=4,所以c2=a2-b2=1。故椭圆+=1的焦点坐标是(-1,0),(1,0)。 5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程。 解　由9x2+5y2=45,得+=1,其焦点F1(0,2),F2(0,-2),设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)。因为点M(2,)在椭圆上,所以+=1　①。又a2-b2=4　②,解①②得a2=12,b2=8。故所求椭圆的标准方程为+=1。 学科网（北京）股份有限公司 $$