课时达标检测(8) 圆的标准方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(八)　圆的标准方程 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 (B) A.x2+(y+2)2=1 B.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析　因为圆心在y轴上,C项圆心为(1,3)不符合题意,排除C。又因为圆过点(1,2),可排除A,D,只有B符合题意。故选B。 2.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是 (A) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1 解析　由两圆关于原点对称可知圆C的圆心为(2,-1),半径为1,所以圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=1。 3.方程(x-1)=0所表示的曲线是 (D) A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆 解析　(x-1)=0可化为x-1=0或x2+y2=3,所以方程(x-1)=0表示一条直线和一个圆。故选D。 4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为 (B) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 解析　 如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r==。故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13。故选B。 5.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是 (C) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解析　根据圆心在直线x+y-2=0上可排除B,D,再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确。 6.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为 (D) A.6 B.25 C.26 D.36 解析　(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方。因为点P在圆C:(x-2)2+y2=1上,且点Q在圆C外,所以其最大值为(|QC|+1)2=36。故选D。 二、多项选择题 7.若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的值可能是 (AD) A. B. C.- D.- 解析　过P可作圆的两条切线,说明点P在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m)2>1,解得m>或m<-,故选AD。 8.若圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上存在到原点的距离为3的点,则实数a的值可以是 (BC) A.1 B. C.2 D.3 解析　由(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),知圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为a。若圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上存在到原点的距离为3的点,则圆心到原点的距离a∈[2,4],即2≤a≤4,解得≤a≤2。故选BC。 三、填空题 9.过点A(1,3)与点B(-2,5)且半径最小的圆的标准方程为 x+2+(y-4)2= 。  解析　由题意知,过点A(1,3)与点B(-2,5)且半径最小的圆是以AB为直径,AB的中点-,4为圆心的圆,则r=|AB|=×=,故所求圆的标准方程为x+2+(y-4)2=。 10.在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2)是Rt△OAB的直角顶点,点O是坐标原点,点B在x轴上,则直线AB的方程是 2x-y+10=0 ;△OAB的外接圆的方程是 x+2+y2= 。  解析　因为点A(-4,2)是Rt△OAB的直角顶点,所以OA⊥AB。又kOA==-,所以kAB=2,所以直线AB的方程为y-2=2(x+4),即2x-y+10=0。易知B(-5,0),△OAB的外接圆是以OB的中点为圆心,|OB|为半径的圆。又OB的中点坐标为-,0,|OB|=,所以所求外接圆的方程是x+2+y2=。 11.已知圆C的圆心在直线x+y=0上,且圆C过(0,2),(-4,0)两点,则圆C的方程是 (x+3)2+(y-3)2=10 。  解析　因为圆心在直线x+y=0上,所以可设圆心坐标为(a,-a)。又圆C过已知两点(0,2),(-4,0),所以(-a)2+(2+a)2=(-4-a)2+a2,解得a=-3,所以半径为r==,所以圆C的方程为(x+3)2+(y-3)2=10。 四、解答题 12.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程。 解　要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值。因为|PA|=,|PB|=,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=。故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13。 13.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上。 (1)求AD边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程。 解　(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3。又点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0。 (2)由解得点A的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0),所以M为矩形ABCD外接圆的圆心,又r=|AM|==2,所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=8。 素养升级 14.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是 2π 。  解析　因为|y|-1=,所以|y|-1≥0,所以y≥1或y≤-1。将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3,所以曲线为两个半圆,半径为,所以曲线的长度为2π×=2π。 15.阿波罗尼斯(约公元前262—公元前190年)证明过这样的一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足=,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是 2 。  解析　设经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0)。设P(x,y),因为=,所以=,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8。当点P到AB(x轴)的距离最大时,△PAB的面积最大,此时面积为×2×2=2。 16. 如图所示,某隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成。已知隧道总宽度AD为6 m,行车道总宽度BC为2 m,侧墙高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m。 (1)以EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,1 m为单位长度建立平面直角坐标系,求圆弧所在圆的标准方程; (2)为保证安全,要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m,问车辆通过隧道的限制高度是多少? 解　(1)由题意,有E(-3,0),F(3,0),M(0,3)。因为所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2(b∈R,r>0),因为F(3,0),M(0,3)都在圆上,所以解得所以圆的标准方程是x2+(y+3)2=36。 (2)设限制高度为h,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5,将点P的横坐标x=代入圆的方程,得()2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍去)。所以h=|CP|-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m)。故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m。 学科网（北京）股份有限公司 $$