课时达标检测(6) 两条直线的交点坐标(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(六)　两条直线的交点坐标 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.过直线l1:x-2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点,且过原点的直线方程为 (D) A.2x-y=0 B.2x+y=0 C.x-2y=0 D.x+2y=0 解析　联立解得则直线l1:x-2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点坐标为(-2,1)。所以过点(-2,1)且过原点(0,0)的直线方程为x+2y=0。故选D。 2.直线x-y=0与x+y=0的位置关系是 (A) A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 解析　易知A1=,B1=-1,A2=1,B2=1,则A1B2-A2B1=×1-1×(-1)=+1≠0,又A1A2+B1B2=×1+(-1)×1=-1≠0,则这两条直线相交但不垂直。 3.过直线x+y-3=0和2x-y+6=0的交点,且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是 (D) A.4x+2y-9=0 B.4x-2y+9=0 C.x+2y-9=0 D.x-2y+9=0 解析　联立解得设与直线2x+y-3=0垂直的直线方程为x-2y+m=0,所以把(-1,4)代入该直线方程,得m=9。故所求直线的方程为x-2y+9=0。故选D。 4.直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限,则k的取值范围为 (C) A.(-6,2) B. C. D. 解析　联立方程解得由直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限可得解此不等式组可得-<k<-,即k的取值范围为。故选C。 5.方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线 (A) A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 解析　方程(a-1)x-y+2a+1=0可化为-x-y+1+a(x+2)=0,由得故选A。 6.若直线l1:y=kx-k+1与直线l2关于点(3,3)对称,则直线l2一定过定点 (C) A.(3,1) B.(2,1) C.(5,5) D.(0,1) 解析　因为y=kx-k+1=k(x-1)+1,所以直线l1:y=kx-k+1过定点(1,1)。设定点(1,1)关于点(3,3)对称的点的坐标为(x,y),则得即直线l2恒过定点(5,5)。故选C。 二、多项选择题 7.若三条直线l1:x+y-1=0,l2:kx-2y+3=0,l3:x-(k+1)y-5=0可围成三角形,则 (ABD) A.k≠-7 B.k≠-2 C.k≠-1 D.k≠1 解析　若三条直线交于一点,则k≠-2,解由l1,l2的方程组成的方程组得即l1与l2的交点为,代入l3的方程得--(k+1)×-5=0,解得k=-7或k=-2(舍去),即三条直线交于一点时k=-7。若l1与l2平行或重合,则1×(-2)-k×1=0,k=-2。若l1与l3平行或重合,则1×[-(k+1)]-1×1=0,k=-2。若l2与l3平行或重合,则k×[-(k+1)]-1×(-2)=0,k=-2或k=1。综上可知,当三条直线可围成三角形时,k≠-7且k≠-2且k≠1。故选ABD。 8.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为 (AC) A.1 B.2 C.-2 D.-1 解析　由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行。因为直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行,所以直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行。因为x-y+1=0的斜率为1,2x+y-4=0的斜率为-2,ax-y+2=0的斜率为a,所以a=1或a=-2。 三、填空题 9.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是 a≠2 。  解析　若l1与l2相交,则有≠,所以a≠2。 10.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p= 20 。  解析　由题意知,2×m-4×5=0,解得m=10,所以直线mx+4y-2=0即5x+2y-1=0。又垂足(1,p)在直线5x+2y-1=0上,所以5×1+2×p-1=0,解得p=-2。又垂足(1,-2)也在直线2x-5y+n=0上,所以2×1-5×(-2)+n=0,解得n=-12。故m-n+p=10+12-2=20。 11.直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 3x+y+1=0 。  解析　设直线l与l1的交点为A(x0,y0)。由已知条件,得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0),且满足即解得即A(-2,5),所以直线l的方程为=,即3x+y+1=0。 四、解答题 12.已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(7,1),D(4,6),点M是边AB的中点,CM与BD交于点P。 (1)求直线CM的方程; (2)求点P的坐标。 解　(1)设点C的坐标为(x,y),因为在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,所以线段AB,DC所在直线的斜率相等,线段AD,BC所在直线的斜率相等,则解得即C(10,6)。又点M是边AB的中点,所以M(4,1),所以直线CM的方程为=,即5x-6y-14=0。 (2)因为B(7,1),D(4,6),所以直线BD的方程为=,即5x+3y-38=0。由解得即点P的坐标为6,。 13.在△ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0。若点B的坐标为(1,2),求点C的坐标。 解　点A为直线y=0与x-2y+1=0的交点,所以点A的坐标为(-1,0)。所以kAB==1,又因为∠A的平分线所在直线的方程是y=0,所以kAC=-1。所以直线AC的方程是y=-x-1。而BC与直线x-2y+1=0垂直,所以kBC=-2。所以直线BC的方程是y=-2x+4。由解得C(5,-6)。 素养升级 14.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为  。  解析　由题意知,直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,所以四边形的面积S=×2×(4-k)+×4×(2k2+2)=4k2-k+8,故面积最小时,k=。 15.已知直线l:3x-y-1=0及点A(4,1),B(0,4),C(2,0)。 (1)试在l上求一点P,使|AP|+|CP|最小; (2)试在l上求一点Q,使||AQ|-|BQ||最大。 解　(1)如图①,设点C关于l的对称点为C'(a,b),连接AC'交直线l于点P,此时|AP|+|CP|最小。 ①② 由解得所以C'(-1,1),所以直线AC'的方程为y=1。由得l与直线AC'的交点为P,1,此时|AP|+|CP|取最小值5。 (2)如图②,设点B关于l的对称点为B'(m,n),连接AB'并延长交直线l于点Q,此时||AQ|-|BQ||最大。由解得所以B'(3,3),所以直线AB'的方程为2x+y-9=0,由得AB'与l的交点为Q(2,5),此时||AQ|-|BQ||取最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $$