课时达标检测(4) 直线方程的一般式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(四)　直线方程的一般式 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若直线l的一般式方程为2x-y+1=0,则直线l不经过 (D) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　直线方程变形为y=2x+1,直线经过第一、二、三象限。 2.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°,则m的值为 (D) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析　由题意可得m2-4≠0且=1,解得m=3或m=2(舍)。所以m=3。故选D。 3.如果Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足的条件是 (D) A.BC=0 B.A≠0 C.BC=0,且A≠0 D.A≠0,且B=C=0 解析　y轴所在直线的方程可表示为x=0,所以A,B,C满足的条件为B=C=0,A≠0。 4.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形只能是 (C) ABCD 解析　由ac<0,bc<0,得abc2>0,所以ab>0,所以斜率k=-<0,又纵截距->0。故选C。 5.直线y=mx-3m+2(m∈R)必过定点 (A) A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(3,-2) 解析　由y=mx-3m+2,得y-2=m(x-3),所以直线必过定点(3,2)。故选A。 6.直线l的方程为Ax+By+C=0,若l过原点和第二、四象限,则 (D) A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 C.C=0,AB<0 D.C=0,AB>0 解析　因为直线l过原点,所以C=0,又因为直线l过第二、四象限,所以其斜率为负值,即k=-<0,所以AB>0。故选D。 二、多项选择题 7.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m可以取下列哪些值 (ACD) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,两式同时成立时解得m=1,所以m≠1。故选ACD。 8. 已知直线l1,l2的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是 (BC) A.b>0,d<0 B.b<0,d>0 C.a>c D.a<c 解析　由题图,可知直线l1的斜率大于0,其在y轴上的截距小于0,所以即直线l2的斜率大于0,其在y轴上的截距大于0,所以即又直线l1的斜率大于直线l2的斜率,即->->0,所以c<a<0。故选BC。 三、填空题 9.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为 x-3y+24=0 。  解析　由2x-3y+12=0知,斜率为,在y轴上的截距为4。根据题意,直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,所以直线l的方程为x-3y+24=0。 10.已知直线l的方程为x+y-=0,则直线l的倾斜角为 120° ,在y轴上的截距为  。  解析　将直线方程x+y-=0化为斜截式方程得y=-x+,故直线l的斜率为-,倾斜角为120°,在y轴上的截距为。 11.若直线的截距式+=1化为斜截式为y=-2x+b,化为一般式为bx+ay-8=0,且a>0,则a+b= 6 。  解析　由+=1,得y=-x+b,一般式为bx+ay-ab=0,所以-=-2,-ab=-8,即解得或因为a>0,所以a=2,b=4,所以a+b=6。 四、解答题 12.求满足下列条件的直线方程。 (1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0的斜率的2倍; (2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成的三角形的周长为12。 解　(1)因为3x+8y-1=0可化为y=-x+,所以直线3x+8y-1=0的斜率为-。则所求直线的斜率k=2×-=-。又直线经过点(-1,-3),所以所求直线的方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0。 (2)设直线与x轴的交点为(a,0),因为点M(0,4)在y轴上,所以由题意得4++|a|=12,解得a=±3,所以所求直线的方程为+=1或+=1,即4x+3y-12=0或4x-3y+12=0。 13.求分别满足下列条件的直线l的一般式方程。 (1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6; (2)经过两点A(1,0),B(m,1); (3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等。 解　(1)设直线l的方程为y=x+b。令x=0,得y=b。令y=0,得x=-b,所以=6,解得b=±3。所以直线l的方程为y=x±3,化为一般式为3x-4y±12=0。 (2)当m≠1时,直线l的方程是=,即y=(x-1);当m=1时,直线l的方程是x=1。综上,所求直线l的方程是x-(m-1)y-1=0。 (3)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b。当a≠0,b≠0时,直线l的方程为+=1。因为直线过点(4,-3),所以-=1。又因为|a|=|b|,所以解得或当a=b=0时,直线l过原点且过点(4,-3),所以直线l的方程为y=-x。综上所述,直线l的方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0。 14.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)。 (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围。 解　(1)当a=-1时,直线l的方程为y+3=0,不符合题意;当a≠-1时,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为a-2,因为l在两坐标轴上的截距相等,所以=a-2,解得a=2或a=0,所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0。 (2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以或解得a≤-1,故实数a的取值范围为(-∞,-1]。 素养升级 15.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是 (C) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0 解析　 由x-y+1=0得A(-1,0),又P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,所以P为线段AB中垂线上的点,且B(5,0)。PB的倾斜角与PA的倾斜角互补,则斜率互为相反数,故PB的斜率kPB=-1,则直线PB的方程为y=-(x-5),即x+y-5=0。 16.已知直线l过点P(-2,1)且斜率为k(k>1),将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得到直线m,若直线l和m分别与y轴交于Q,R两点。 (1)用k表示直线m的斜率; (2)当k为何值时,△PQR的面积最小?并求出此时直线l的方程。 解　(1)设直线l的倾斜角为α,则直线m的倾斜角为α+45°,所以直线m的斜率为km=tan(45°+α)==。 (2)易得直线l的方程为y-1=k(x+2),直线m的方程为y-1=(x+2)。令x=0,得yQ=2k+1,yR=,所以△PQR的面积S△PQR=|yQ-yR|·|xP|=。因为k>1,所以S△PQR==2·=2(k-1)++2=2-2+4+4≥4(+1),当且仅当=,即k=+1时等号成立,所以当k=+1时,△PQR的面积最小,最小值为4(+1),此时直线l的方程是(+1)x-y+2+3=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$