第1章 §2 2.3 直线与圆的位置关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.3　直线与圆的位置关系 情境导入 课程标准 　　 早晨的日出非常美丽,如果我们把海平面看成一条直线,而把太阳抽象成一个运动着的圆,观察太阳缓缓升起的这样一个过程,你能想象到什么几何知识呢?没错,太阳升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系,你发现了吗? 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 自主预习明新知 直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法: 设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 位置关系 相交 相切 相离 代数法: 由 消元得到一元二次方程,可得方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与圆位置关系的判断 　　【例1】　已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系。 解　解法一:(代数法)由方程组消去y后整理,得5x2-50x+61=0。因为Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,所以该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交。 解法二:(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d==2。因为d<r=6,所以直线l与圆C相交。 　　判断直线与圆位置关系的方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断。(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断。 【变式训练】　直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是 (C) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 解析　直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交。 类型二　切线问题 　　【例2】　已知圆C:(x-3)2+y2=1。 (1)过点P(0,1)作直线l与圆C相切,切线长为 3 ,直线l的方程为 y=1或3x+4y-4=0 。  (2)过点P(2,3)作直线l与圆C相切,则直线l的方程为 4x+3y-17=0或x=2 。  解析　 (1)如图,过点P作圆C的一条切线,切点为Q,连接PC,CQ,则三角形PCQ为直角三角形,且∠CQP=90°。而|CP|2=32+12=10,|CQ|=r=1,所以|PQ|2=|PC|2-|CQ|2=10-1=9,则|PQ|=3。依题意可设直线l:y=kx+1,即kx-y+1=0,圆心C(3,0)到直线l的距离为d==1,整理得4k2+3k=0,解得k=-或k=0,故直线l的方程为y=1或3x+4y-4=0。 (2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,圆心C(3,0)到直线l的距离为d==1,化简整理得3k+4=0,即k=-,这时直线l的方程为4x+3y-17=0。当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,易知它与圆(x-3)2+y2=1相切。所以直线l的方程为4x+3y-17=0或x=2。 　　(1)过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法:①几何法:设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径,求出未知量的值(此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出其切线方程)。②代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值。若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出其切线的方程。(2)过一点求圆的切线方程时,若点在圆上,则切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条。 【变式训练】　(1)圆x2+y2=4在点P(,-1)处的切线方程为 (C) A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y-4=0 D.x-y+2=0 解析　因为()2+(-1)2=4,所以点P在圆上,所以P为切点。因为切点与圆心连线的斜率为-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y+1=(x-),即x-y-4=0。 (2)点P是直线2x+y+10=0上的动点,PA,PB与圆x2+y2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为 8 。  解析　 如图所示,因为S四边形PAOB=2S△POA,又OA⊥AP,所以S四边形PAOB=2×|OA|·|PA|=2=2。为使四边形PAOB面积最小,当且仅当|OP|达到最小,又|OP|的最小值为点O到直线2x+y+10=0的距离,即|OP|min==2,故所求最小值为2=8。 类型三　直线与圆相交问题 　　【例3】　已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦。 (1)当α=135°时,求AB的长; (2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程。 解　(1)解法一:(几何法) 如图所示,过点O作OC⊥AB。由已知条件得直线AB的斜率为k=tan 135°=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0。因为圆心为(0,0),所以|OC|==。因为r=2,所以|BC|==,所以|AB|=2|BC|=。 解法二:(代数法)当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0。所以x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|==。 (2) 如图,连接OP,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB。因为kOP=-2,所以kAB=,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0。 　　求直线与圆相交时弦长的两种方法:(1)几何法:直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则+d2=r2,即|AB|=2。(2)代数法:将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==·|x1-x2|=·|y1-y2|(直线l的斜率k存在)。 【变式训练】　(1)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 2 。  解析　设点A(3,1),圆心C(2,2),半径r=2。当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦。因为|CA|==,所以半弦长为==。所以最短弦的长为2。 (2)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为 (x-2)2+(y+1)2=4 。  解析　设圆的半径为r,由条件,得圆心到直线y=x-1的距离d==。又由题意知,半弦长为,所以r2=2+2=4,得r=2。所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4。 类型四　直线与圆的实际应用 　　【例4】　一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 解　 以台风中心为原点,以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为+=1,即4x+7y-28=0,圆心(0,0)到l:4x+7y-28=0的距离d==,因为>3,所以直线与圆相离。故轮船不会受到台风的影响。 　　解决直线与圆的实际应用题的关键:利用直线与圆的有关知识解决实际问题的关键是把它转化为数学问题,通过建立平面直角坐标系求圆的方程,进而使问题得以解决。 【变式训练】　 “圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中不知大小,以锯锯之,深一寸,锯刀长一尺,问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该木材,锯口深一寸,锯刀长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少?现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面如图所示,已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,则阴影部分的面积约为(注:π≈3.14,sin 22.5°≈,1尺=10寸) (A) A.6.33平方寸 B.6.35平方寸 C.6.37平方寸 D.6.39平方寸 解析　连接OC(图略),设半径为r,AD=5,则OD=r-1。在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2,即r2=52+(r-1)2,解得r=13。所以sin∠AOC=,所以∠AOC≈22.5°,所以∠AOB≈2×22.5°=45°。所以扇形OAB的面积S1==≈66.33,△OAB的面积S2=×10×12=60,所以阴影部分的面积为S1-S2=66.33-60=6.33。 当堂检测提素养 　　　 　　　　　　　　　　　　　 1.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是 (C) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 解析　圆C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d==<2,所以圆C与直线l相交。 2.(多选)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值可以为 (BD) A.-2 B.2 C.-12 D.12 解析　因为直线3x+4y=b与圆心为(1,1),半径为1的圆相切,所以=1,解得b=2或b=12。 3.(多选)若直线ax+by=0与圆x2+y2-4x+2=0有公共点,则 (BC) A.ln a≤ln b B.|a|≤|b| C.(a+b)(a-b)≤0 D.a≤b 解析　圆的标准方程为(x-2)2+y2=2,圆心为(2,0),半径为,因为直线ax+by=0与圆x2+y2-4x+2=0有公共点,所以≤,解得a2≤b2,即(a+b)(a-b)≤0,等价于|a|≤|b|,所以BC正确,AD错误。故选BC。 4.点A(3,5)是圆x2+y2-4x-8y-80=0的一条弦的中点,则这条弦所在直线的方程为 x+y-8=0 。  解析　圆为(x-2)2+(y-4)2=102,圆心为B(2,4),半径为r=10。设这条弦所在直线为l,则AB⊥l,因为kAB==1,所以直线l的斜率k=-1。所以所求直线为y-5=-(x-3),即x+y-8=0。 5.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= 2 。  解析　由x2+y2+2y-3=0,得圆心为(0,-1),半径为2,所以圆心到直线的距离d==。所以|AB|=2=2。 6.已知圆C经过M(1,0),N(2,1)两点,且圆心C在直线x+2y-2=0上。 (1)求圆C的方程; (2)过点P(0,1)的直线l与圆C交于不同的A,B两点,且CA⊥CB,求直线l的方程。 解　(1)线段MN的中垂线方程为x+y-2=0,由得圆心C的坐标为(2,0),所以半径r=1,圆C的方程为(x-2)2+y2=1。 (2)设直线l的方程为y=kx+1,因为CA⊥CB, 所以C到AB的距离为,即=,解得k=-1或k=-,故直线l的方程为x+y-1=0或7y+x-7=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$