第1章 §2 2.2 圆的一般方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.2　圆的一般方程 情境导入 课程标准 　　前面我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。可见,任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程。 自主预习明新知 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 将方程左边配方,并将常数项移到右边得 +=。 (1)当D2+E2-4F>0时,表示圆心为,半径为的圆。 (2)当D2+E2-4F=0时,表示点。 (3)当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。 2.圆的一般方程 (1)一般方程:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。 (2)对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0而言,圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时,其在代数结构上的典型特征: ①x2,y2的系数相同,且不等于0,即A=B≠0; ②不含xy这样的二次项,即C=0。 微思考 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗? 提示:不一定。只有D2+E2-4F>0时表示圆,否则不表示圆。 2.如果点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,那么应满足什么关系式?圆外呢? 提示:若点P在圆内,则++Dx0+Ey0+F<0;若点P在圆外,则++Dx0+Ey0+F>0。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　二元二次方程与圆的关系 　　【例1】　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径。 解　(1)由题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为-∞,。 (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=。 　　判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆。此时有两种途径:一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数。 【变式训练】　(1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 (-2,-4) ,半径是5。  解析　由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或a=-1。当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得x+2+(y+1)2=-<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5。 (2)已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0。求证:当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上。 证明　因为D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2。又m≠2,所以(m-2)2>0,所以D2+E2-4F>0,即曲线C是一个圆。设圆心坐标为(x,y),则由消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0上。 类型二　求圆的一般方程 　　【例2】　求满足下列条件的圆的一般方程: (1)圆心在直线y=x上,与x轴相交于(-1,0),(3,0)两点; (2)经过A(4,0),B(3,-3),C(1,1)三点。 解　(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为-,-。因为圆心在直线y=x上,且圆过(-1,0),(3,0)两点,所以解得所以圆的方程为x2+y2-2x-2y-3=0。 (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别代入(4,0),(3,-3),(1,1)三点,得解得所以圆的方程为x2+y2-4x+2y=0。 　　待定系数法求圆的一般方程的步骤:(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0;(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组;(3)解此方程组,求出D,E,F的值;(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程。 【变式训练】　(1)过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程为 (x-2)2+(y+3)2=25 。  解析　将圆C的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16,圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为r=|CM|==5。所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25。 (2)过三点O(0,0),M(7,1),N(4,2)的圆的方程为 x2+y2-8x+6y=0 。  解析　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。由已知,点O(0,0),M(7,1),N(4,2)的坐标满足上述方程,分别代入方程,可得关于D,E,F的三元一次方程组解方程组得D=-8,E=6,F=0,于是得到所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0。 类型三　轨迹问题 　　【例3】　(1)求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的的点的轨迹方程。 解　设M(x,y)到O(0,0)的距离是到A(3,0)的距离的,则=,即=。化简得x2+y2+2x-3=0。即所求轨迹方程为(x+1)2+y2=4。 (2)已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程。 解　设点M(x,y),点P(x0,y0),则所以因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上,所以+-8x0-6y0+21=0。所以(2x)2+(2y)2-8×(2x)-6×(2y)+21=0。即点M的轨迹方程为x2+y2-4x-3y+=0。 　　求与圆有关的轨迹问题的常用方法:(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式。(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程。(3)代入法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程。 【变式训练】　点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点。 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程。 解　(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式得点P(2x-2,2y)。因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1。 (2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。设O为原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为 (D) A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆 C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形 解析　因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形。故选D。 2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于 (B) A. B.- C.3 D.-3 解析　由题意知,直线2x-y+3=0过圆心。因为圆心坐标为(k,0),所以2k+3=0,k=-。 3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 x2+y2-8x=0 。  解析　设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,即=2,整理,得x2+y2-8x=0。故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0。 4.若圆的圆心为(3,1),且与x轴相切,则圆的一般方程是 x2+y2-6x-2y+9=0 。  解析　由题意知圆的半径为1,所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=1,即x2+y2-6x-2y+9=0。 5.圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的一般方程。 解　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。因为圆C过A(1,2),B(3,4),所以D+2E+F=-5　①,3D+4E+F=-25　②。令y=0,得x2+Dx+F=0。设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F。因为|x1-x2|=6,所以(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36　③。由①②③得D=12,E=-22,F=27或D=-8,E=-2,F=7。故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$