第1章 §2 2.1 圆的标准方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 情境导入 课程标准 　　 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮。有诗道:“明月四时好,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头。放出白毫千丈,散作太虚一色,万象入吾眸。星斗避光彩,风露助清幽。”如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示? 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程。 自主预习明新知 1.圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹),其中定点是圆心,定长就是半径。 2.圆的标准方程 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。 3.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (1)在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2或d<r; (2)在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2或d=r; (3)在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2或d>r。 说明:点M到圆心(a,b)的距离为d。 微思考 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b,r∈R)表示一个圆吗?为什么? 提示:未必表示圆。当r≠0时,表示圆心为(a,b),半径为|r|的圆;当r=0时,表示一个点(a,b)。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直接法求圆的标准方程 　　【例1】　(1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是 (D) A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25 解析　因为AB为直径,所以AB的中点(1,2)为圆心,|AB|==5为半径,所以该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25。 (2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 (x+5)2+(y+3)2=25 。  解析　因为圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,所以该圆的半径为5,所以该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25。 　　用直接法求圆的标准方程的策略:(1)首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程。(2)确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等。 【变式训练】　已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的标准方程为 (x-2)2+y2=9 。  解析　设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,则圆C的半径为r=|CM|==3。所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9。 类型二　待定系数法求圆的标准方程 　　【例2】　圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程为 (x+1)2+(y+2)2=10 。  解析　解法一:(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题设条件知解得故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 解法二:(几何性质法)线段AB的中点的坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB==,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2,所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0。又圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点,由得所以圆心坐标为(-1,-2),所以圆的半径长r==,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 　　求圆的标准方程的方法:确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法:(1)待定系数法:建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;(2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径长。一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷。 【变式训练】　已知圆C与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求圆C的方程。 解　解法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|=r,CA⊥l,得解得所以圆C的方程为(x-5)2+y-2=。 解法二:由题意知直线CA⊥l,故直线CA的方程为y-6=-(x-3),即3x+4y-33=0。又因为kAB==-2,线段AB的中点坐标为(4,4),所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0,解方程组得所以圆心C5,,所以半径r=。所以圆C的方程为(x-5)2+y-2=。 类型三　点与圆的位置关系 　　【例3】　(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 (B) A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 解析　由(m2)2+52=m4+25>24,得点P在圆外。 (2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为 [0,1) 。  解析　由题意知即解得0≤a<1。 　　(1)判断点与圆的位置关系的方法:①只需计算该点与圆心之间的距离,与半径作比较即可。②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断。(2)灵活运用:若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围。 【变式训练】　已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围为 (-∞,-1)∪(1,+∞) 。  解析　由题意知,(1-a)2+(1+a)2>4,即2a2-2>0,解得a<-1或a>1。 四点共圆问题 【典例1】　已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?为什么? 【解】　设经过A,B,C三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解此方程组,得故经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5。把点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5。于是点D在经过A,B,C三点的圆上,故A,B,C,D四点在同一个圆上,这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5。 　　判断四点共圆可以用本题所体现的方法,即求出其中三点所在的圆的方程,再判断第四点是否在圆上。另外,有时也用几何法判断,即用四边形对角互补判断。 圆的标准方程的实际应用 【典例2】　赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥。如图所示,赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法,用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。 【解】　作出示意图如图所示,其中AB表示跨度,O为AB中点,OC为圆拱高。以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,根据已知条件有B,0,C(0,b)。可以看出,圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为(0,t),半径为r,因为B,C都在圆上,所以解得r=。 　　圆的实际应用题,应首先建立直角坐标系,将实际问题转化为坐标问题。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是 (D) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 2.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1),则原点O在 (B) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 3.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是 (C) A.(x+2)2+(y+1)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=10 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=10 4.已知圆C过点(8,1),且与两坐标轴都相切,则面积较小的圆C的方程为 (x-5)2+(y-5)2=25 。  解析　由题意,圆C过点(8,1),且与两坐标轴都相切,设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),将点(8,1)代入圆的方程,可得(8-a)2+(1-a)2=a2,整理得a2-18a+65=0,解得a=5或a=13,当a=5时,圆C的面积较小,此时圆C的方程为(x-5)2+(y-5)2=25。 5.求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)圆心在y轴上,半径长为5,且过点(3,-4); (3)求过两点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的标准方程。 解　(1)圆心为C(4,-1),半径r==,所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=10。 (2)设圆心为C(0,b),则r==5,所以(4+b)2=16=42,所以4+b=4或4+b=-4,所以b=0或b=-8,所以圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25。 (3)设圆心为M(a,0),因为|MC|=|MD|,所以(a+1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2,即a2+2a+1+1=a2-2a+1+9,所以a=2,r=|MC|=,所以圆的标准方程为(x-2)2+y2=10。 学科网（北京）股份有限公司 $$