第1章 §1 1.6 平面直角坐标系中的距离公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 情境导入 课程标准 　　在铁路的附近,有一大型仓库。现要修建一条公路与之连接起来,易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短。将铁路看作一条直线l,仓库看作点P,怎样求得仓库到铁路的最短距离呢? 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式。 2.掌握点到直线的距离公式。 3.会求两条平行直线间的距离。 自主预习明新知 1.两点间的距离公式 两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式|AB|=。 2.点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(其中A,B不全为0)。 3.两条平行直线间的距离公式 两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的公垂线段的长。 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的距离d=(其中A,B不全为0,且C1≠C2)。 微提醒 1.运用点到直线的距离公式时,一定要将直线方程化为一般式方程。 2.运用两平行直线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同。 微思考 1.式子的几何意义是什么? 提示:两点(x,y),(a,b)间的距离。 2.点到直线的距离公式对于A=0或B=0时的直线是否仍然适用? 提示:仍然适用,但一般不用公式求解,而常用数形结合求点到直线的距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两点间的距离公式及应用 　　【例1】　如图,已知△ABC的三顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7)。 (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积。 解　(1)因为|AB|===2。|AC|===2。|BC|===2,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰直角三角形。 (2)因为S△ABC=|AC|·|AB|=×()2=26,所以△ABC的面积为26。 　　(1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),有|P1P2|=。(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解。 【变式训练】　试在直线x-y+4=0上求一点P,使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等。 解　由直线x-y+4=0,得y=x+4,点P在该直线上,所以可设P点的坐标为(a,a+4)。由已知|PM|=|PN|,得=,解得a=-,从而a+4=-+4=。所以P-,。 类型二　点到直线的距离 　　【例2】　求点P(3,-2)到下列直线的距离: (1)y=x+; (2)y=6; (3)x=4。 解　(1)直线y=x+化为一般式为3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d==。 (2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8。 (3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1。 　　应用点到直线的距离公式应注意的三个问题:(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式。(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用。(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解。 【变式训练】　求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程。 解　设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,则由点到直线的距离公式知d===。所以|m-3|=6,即m-3=±6。得m=9或m=-3,故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0。 类型三　两条平行直线间的距离 　　【例3】　(1)直线-=1与y=x+1之间的距离为 (B) A. B. C. D.24 解析　两直线变形为3x-2y-12=0与3x-2y+2=0,则两直线间的距离d===。故选B。 (2)两条平行直线3x-4y+1=0与ax-8y+c=0的距离为3,则a= 6 ,c= -28或32 。  解析　由题意得=,所以a=6。直线3x-4y+1=0即为6x-8y+2=0。由两条平行直线间的距离公式得=3,所以|2-c|=30,即c=-28或c=32。 　　两条平行直线间距离的求法:(1)直接利用两条平行直线间的距离公式。(2)在一条直线上任意选取一点,利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点,如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)。 【变式训练】　(1)直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0间的距离是 3 。  解析　6x+8y+6=0可化为3x+4y+3=0,所以直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0之间的距离d===3。 (2)与两条平行直线l1:3x-y+9=0,l2:3x-y-3=0等距离的直线方程是 3x-y+3=0 。  解析　设所求直线方程为3x-y+m=0。由题意,知=,解得m=3。故所求直线的方程为3x-y+3=0。 类型四　利用距离公式求最值 　　命题方向1:由点到直线的距离求最值 　　【例4】　已知实数x,y满足6x+8y-1=0,则的最小值为  。  解析　因为=,所以上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N(0,1)的距离,即为点N到直线l:6x+8y-1=0上任意一点M(x,y)的距离,所以|MN|的最小值应为点N到直线l的距离,即|MN|min==。 　　解答此类问题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决。 【变式训练】　(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求|OP|最小时P点的坐标。 解　直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,所以OP所在直线方程为y=x。由解得所以P点坐标为(2,2)。 (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程。 解　由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,因为kOP=2,所以所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0。 　　命题方向2:有关两条平行直线间距离的最值 　　【例5】　两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着点A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d。 (1)求d的取值范围; (2)求d取最大值时,两条直线的方程。 解　(1)设经过A点和B点的直线分别为l1,l2,显然当时,l1和l2的距离最大,且最大值为|AB|==3,所以d的取值范围为(0,3]。 (2)由(1)知dmax=3,此时k=-3,所以两直线的方程分别为3x+y-20=0与3x+y+10=0。 　　两条平行直线间的距离可转化为两点间的距离,通过两点间的距离利用数形结合思想得到两条平行直线间距离的最值。 【变式训练】　已知P,Q分别是直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点,则|PQ|的最小值为 (D) A.3 B. C. D. 解析　由题意知,两条直线互相平行,所以两条直线间的距离就是|PQ|的最小值,3x+4y-5=0可化为6x+8y-10=0,则|PQ|min==。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.点(4,-2)到直线y=x-的距离是 (B) A.1 B.2 C. D.6 解析　直线y=x-化为一般式方程:3x-4y-10=0。点(4,-2)到直线3x-4y-10=0的距离d==2,故选B。 2.直线x+y+1=0与直线x+y-1=0之间的距离是 (A) A. B. C.1 D. 解析　由题意知,两条直线互相平行,所以两条直线之间的距离为=。 3.点P在x轴上,且到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为 (8,0)或(-12,0) 。  解析　设点P的坐标为(x,0),则根据点到直线的距离公式可得=6,解得x=8或x=-12。所以点P的坐标为(8,0)或(-12,0)。 4.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C= 11或-15 。  解析　由两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0,可得A=3,即两直线方程分别为6x-4y-2=0,6x-4y+C=0,由此两条平行直线间的距离为,可得=,解得C=11或C=-15。 5.已知坐标平面上三点A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),过点C作AB的平行线交x轴于点D。 (1)求点D的坐标。 (2)求四边形ABCD的面积。 解　(1)根据题意,A(5,1),B(7,-3),则kAB==-2。又由AB∥CD知,kCD=-2,则直线CD的方程为y+8=-2(x-2),即2x+y+4=0。令y=0,解得x=-2,则D(-2,0)。 (2)因为|AB|=2,|CD|=4,AB∥CD,故四边形ABCD为梯形,点A(5,1)到直线CD:2x+y+4=0的距离为=3,所以四边形ABCD的面积S=×(2+4)×3=45。 学科网（北京）股份有限公司 $$