第1章 §1 1.5 两条直线的交点坐标(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.5 两条直线的交点坐标 情境导入 课程标准 B(学校) (小李) 用解方程组的方法求两条直 A(小王) 线的交点坐标。 如图/小王与小李两位同学早上7点从家中出发去上学.7:15准时到达学校。假 设两人的行走路线都是直线则学校可以看作两条直线的交点。上述问题放在直角坐 标系中如何求解学校的坐标? 自主预习明新知 两条直线的交点坐标 一般地.对于两条不重合的直线1.:A.x+By+C-0.1:Ax+By+C=0.我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判 断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线1.1.交点的坐标就是两个方程的公共解。因此,可 (Ax+By+C=0. 通过求解方程组 A2x+B2y+C2-0 得到两条直线1.1。的交点坐标。 考 两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应? 提示方程组有唯一解一两直线相交:方程组无解一两直线平行;方程组有无数组解一两直线重合 合作探究攻重难 类型一 两条直线交点坐标的应用 0) 【例1】 (1)直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直.则这两条直线的交点坐标为 B) x一2} (2x+y-2-0 由两直线垂直得2ax1+1x[-(a+1)]=0.解得a-1。由x-2y+2-0. 解得#-。 解析 听以这两条直线的 #{)。 交点坐标为 (2)在 ABCD中,已知A(1.2)B(5.0).C3.4).求点D的坐标。 C(3.4) A(1.2) 0 B5.0)t 解法一如图所示k-40-2.k-0.由AD/BC.CD/AB.得边AD所在直线的方程为y-2=-2(x-1).即2x+y-4-0 [2x+y-4-0. (x=-1 即-1,6)。 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 行行 [KAB=kcp [x=-1. 解法二:设点D的坐标为(xy)由平行四边形的性质知 kAp-kBc 即 D(-1.6)。 (#3 (x=-1 即D-16)。 解法四:如图所示设0为坐标原点.连接0A.0D则oD=0A+A=0A+BC=(12)+(3-5.4-0)=(-1.6)即D-1.6). 求点的坐标的三种途径:(1)将该点视为两直线的交点通过联立方程求交点坐标(2)利用待定系数法即设出点的坐 标.由题设条件建立坐标所满足的方程组.求点的坐标(③)向量方法,利用向量的线性运算,求出以原点为起点.该点为终点 的向量坐标即该点的坐标。 【变式训ll练】 三条直线ax+2y+7=0.4x+y-14和2x-3y-14相交于一点,求a的值。 (4x+y=14 [x二4 解方程组2x-3y-14. 得y二-2 所以两条直线的交点坐标为(4.一2)。由题意知点(4一2)在直线 ax+2y+7=0上将(4.-2)代入得a×4+2x(-2)+7=0.解得a--3 类型二 含参数的直线过定点问题 【例2】 求证:不论m取什么实数,直线(2n-1)x+(n+3)y(n-11)=0都经过一定点并求出这个定点坐标。 解 解法-对于方程(2m-1)x(n+3)y(n11)=0令rF0得x-3y-11=0令rr1得x+4y+10=0。解方程组 (x-3y-11=0. x+4y+10-0 得两条直线的交点坐标为(2.-3)。将点(2.-3)代入直线方程得(2r-1)×2+(n+3)×(-3)-(n-11)=0. 这表明不论m取什么实数所给直线均经过定点(2-3). 解法二将已知方程(2n-1)x+(nr+3)y(ar-11)=0整理为(2x+y-1)n(-x+3y+11)=0。由于n取值的任意性有 (2x十y-1=0. (x=2 -x+3y+11-0. 反慰感悟 解决过定点问题常用的三种方法:(1)特殊值法给方程中的参数取两个特殊值可得关于x×y的两个方程从中解出的 xy的值即为所求定点的坐标。(2)点斜式法将含参数的直线方程写成点斜式y-y=k(x-xo)则直线必过定点(x.y)。(3) 分离参数法将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程Ax+By+C+(Ax+By+C)=0的形式.则该方程表示的直线 必过直线Ax+By+C=0和Ax+By+C=0的交点而此交点就是定点。 【变式训练】 求经过直线1.:3x+4y-5-0与直线1:2x-3y+8=0的交点M且满足下列条件的直线方程 (1)与直线2x+y+5=0平行: (②)与直线2x+y+5-0垂直。 [3x+4y-5. [x=-1. 解法一:由2x-3y=-8 解 解得y一2 即交点为(-12)。 (1)由所求直线与直线2x+y+5-0平行知.所求直线的斜率k--2.故所求直线方程为y-2=-2(x+1)即2x+y-0. (2)因为直线2x+y+5=0的斜率为-2则所求直线的斜率k=故所求直线方程为y-2=(x+1)即x-2y+5=0。 解法二:易知直线2x-3y+8-0与直线2x+y+5=0既不平行也不垂直.所以直线2x-3y8=0不是所求直线,所以可设经 过1.与1.交点的直线系方程为3x+4y-5+a(2x-3y+8)-0(ER)即(3+2a)x+(4-3a)y+(8-5)-0。 (1)由所求直线与直线2x+y+5=0平行得(3+2)×1-2×(4-3)-0.解得a-8。 此时所求直线方程为2x+y=0.经检验,满足条件,故所求直线方程为2x+y-0. (②)由所求直线与直线2x+y+5=0垂直得(3+2)×2+(4-3)×1=0解得-10 故所求直线方程为x-2y+5-0。 类型三 对称问题 【例3】 (1)点P-34)关于直线x+y-2-0的对称点0的坐标是 B) A.(-21) B.(-25) C.(2-5) D.(4-3) 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #23+#-2-0$$ 设对称点坐标为(a),则1. (a--2 解析 解得-5. 即Q-2.5)。故选B。 (②)一条光线沿直线2x-y+2-0入射到直线x+y-5-0后反射,求反射光线所在直线的方程。 {{+-5=0翻 . 解得 (a-3. r2x-y+2=0 (x=1. -5.所以B(3.5)。由x+y-5-0. 解得y一4, 所以直线2xy+2-0与直线x+y-5=0的交点为P(1.4)所 以反射光线在经过点B35)和点P14)的直线上.该直线的方程为y-44(x-1)整理得-2y+7=0。故反射光线所在直 线的方程为x-2y+7-0。 反想感悟 有关对称问题的两种主要类型:(1)中心对称:①点P(xy)关于o(a.b)的对称点P'(x',y)满足y'=2b-y。 (x-2a-x ②直线 关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决。(②)轴对称:①点A(a.b)关于直线Ax+By+C=0(B去0)的对称点为 x(一)=-1. A'(mn)则有 A.am+B.b+C-0。 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 【变式训练】 (1)已知不同的两点Pa-b)与qb+1a-1)关于点(3.4)对称,则ab (C) A.-5 B.14 C.-14 D.5 1-3. (ab-5 a-7. 由题意知-b-1-4. 解析 即a-二9解得=-2 故ab-7×(-2-14. ②)已知直线I:y-3x+3.则点P(4.5)关于1的对称点的坐标为(-2.7) 解析 在直线1上目直线PP'垂直于 [x--2 直线1.即 解得y-7。 所以点P的坐标为(-2.7)。 当堂检测提素养 1.直线2x+y+8-0和直线x+y-1=0的交点坐标是 (B) A.(-9-10) B.(-9.10) C.(9.10)D.(9.-10) r2x+y+8-0 (x二-9 解析 解方程组 得y=10 x+y-1-0. 即交点坐标是(-9.10) 2.直线2x+3y-k-0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上.则k的值为 ) A.-24 B.24 C.6 D.士6 (2a-k-0. 解析 因为直线2x+3y-k-0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上可设交点坐标为(a.0)所以 1a+12-0. 解得 (a=-12 {k-一24。 故选A。 3.已知直线1;axty6=0与1:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P若111.则点P的坐标为(3.3)。 解析 因为直线1.tax+y6=0与1g:x(a-2)y+a-1=0相交于点P且111所以ax1+1x(a-2)=0.解得a=1联立方程 (x十y-6=0 (x-3. 解得y一3. 1x-y-0. 所以点P的坐标为(3.3) 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 B.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 4.直线(nr-1)x+(②nr1)y-rr5必经过定点(9-4)。 解析 将原方程按m的降寡排列整理得(x+2y~1)n(x+y-5)=0.此式对于n的任意实数值都成立根据恒等式的要求m的 (x+2y-1=0 -次项系数与常数项均等于0故有x+y-5-0. (x-9 解得y二-4。{ 所以n为任意实数时,所给直线必经过定点 (9-4)。 5.求经过直线1.:3x+2y-1=0和1-:5x+2y+1=0的交点.且垂直于直线1:3x-5y+6=0的直线1的方程。 (3x+2y-1=0. 解法-解方程组5x+2y+1-0. 解 得交点坐标为(-1.2)。又由直线1。的斜率为}得直线1的斜率为-.则直 线1的方程为y-2-3(x+1)即5x+3y-1-0。 解法二:由于直线111故直线1满足5x+3y+C=0。又直线1过直线1.1.的交点(-12)故5×(-1)3×2+C=0解得C-1 故直线1的方程为5x+3y~1-0。 解法三:由干直线1过直线1.1.的交点故直线1满足3x+2v-1+A(5x+2y+1)-0整理得(3+5)x+(2+2)y(-1+)=0。其 率为一.解得x-,则直线1的方程为5x+3y~1-0。 独家授权侵权必究