第1章 §1 1.4 两条直线的平行与垂直(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

盈学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.4两条直线的平行与垂直 情境导入 课程标准 过山车是一种富有刺激性的游乐设施。实际上，过山车的运动包含了许多数学 能根据斜率判定两 条直线平行或垂 直。 物理学原理。过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋 支撑着。你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 自主预习明新知 1.两条直线平行 (k1=k2 ()当两条直线的斜率都存在时，设1ykx+h,Izy-kx+ba则1/10气b1≠b20 (②)当两条直线的斜率都不存在时，直线的倾斜角都是受，从而两直线互相平行或重合。 2.两条直线垂直 (1)当两条直线的斜率都存在时，设11yk1x+b,12-k2x+b2则11⊥12口kk-1。 (②)当两条直线中有一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，两直线垂直。 ⊙微提醒 设直线11与12的一般式方程分别为 11:A1x+By+C10(A1,B不全为0)，12：A2x+B2y+C20(A2B不全为0)。 A1B2-A2B1=0, (11W1o{B1C2-BzC1≠0或AC2-AC1≠0 当a60时/1e元≠总 (2)11⊥12=AA+BB20。 命微思考 如果两条直线垂直则它们的斜率的积一定等于-1吗？ 提示不一定，它们可能是一条直线斜率为0，另一条没有斜率。 合作探究攻重难 类型一两条直线平行的判定与应用 【例1】(1)在△ABC中，A(O,3),B2,-1),E,F分别为边AC,BC的中点，则直线F的斜率为-2 解析因为EF分别为边AC,BC的中点所以F∥AB。所以kk始=-2。 (2)己知直线1：x+my+6-0和1：(m2)x+3y+20互相平行，则实数m的取值为 (囵倒 A.-1或3B.-1 C.-3 D.1或-3 解析解法一由11∥12得1×3-(m2)×m0,解得m-1或F3。当F-1时，两直线方程为xy+6-0与-3x+3y-2-0, 两直线平行，满足条件：当F3时，两直线方程为x+3y+6-0与x+3y+6-0,两直线重合不满足条件。故m的值为-1。 11×3-（m-2×m=0 解法二由1/1s得1×2m-(m-2)×6≠0，解得1. 反思感情 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为A1B-B0仅是1∥12的必要条件，而非充要条件，所以例1（②）求出的m的值未必能确保11∥12，因此需检验。 本题还可利用1∥12的充要条件构建关于m的方程组，此方法求出的m的值无须检验。 【变式训练】(1)过点P-1,3)且平行于直线x243-0的直线方程为 (C) A.2x+y-1=0B.2x+y-5-0 C.x-2y+7=0D.x2y+50 解析设平行于直线x2y+3=0的直线方程为x2y+0,又所求直线过点P\-1,3),则16+0，F7。故选C。 (②)当a为何值时，直线1y-x+2a与直线12y(a2-2)x2平行？ a2-2=-1 解 由题意可知，k,=-1,k,a22,因为1∥12，所以2a≠2 解得a-1。故当a-1时，直线11y-x+2a与 直线1y(a2-2)x+2平行。 类型二两条直线垂直的判定与应用 【例2】(1)已知直线11x+ar+1=0与12x-y+1-0垂直，则a=1 解析显然12的斜率存在目为1，又因为两直线垂直，所以11的斜率为-1，即言=-1解得严1。 (2)△ABC的三个顶点分别为A2,0),B4,4),C0,3),求： ①AC边所在直线的方程： ②AC边的垂直平分线D呢所在直线的方程。 解①直线AC的斜率为k=号，由点斜式得直线方程为广0-号(x2),即3x260。 ②由①知，直线AC的斜率为k,因为ACLDE,,所以直线DE的斜率为号线段AC的中点坐标为(1，是)，由点斜式可 得直线D呢的方程为y2号(x1),即4x6y+50。 反思感悟 判断两直线垂直的方法：(1)若所给的直线方程踷都是一般式方程，则运用条件：11⊥12一AA2+BB0判断。（②）若所给的 直线方程都是斜截式方程，则运用条件：1山1⊥2一k1·-1判断。(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程 化为一般式再判断。 【变式训练】(1)已知直线1：(k-3)x+(5-k)y+1=0与122(k-3)x2y+3=0垂直，则k的值是 (C) A.1或3B.1或5 C.1或4D.1或2 解析由11⊥12得2(k3)2-2(5-)0,整理得2-5k+40,解得k=1或=4。 (②)过点(1,0)且与直线11：x2y20垂直的直线12的方程是2x+y2-0。 解析设直线12的方程为2x+y+c20,因为直线12过点(1,0)，所以2+c20,得c2-2,故所求直线的方程为2x+y20。 核心素养达成 拓思维·助学提分 两条直线平行与垂直的实际应用 【典例】 D B M 如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5m宽B为3皿，其中一条小路定为AC,另一条小路 过点D,问如何在BC上找到一点M使得两条小路所在直线AC与D刚互相垂直？ 【解】如图，以点B为原点，BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系。由AD5(m,AB3(m),可得 C5,0).K5,3)A0,3。设点M的坐标为(x0),因为ACLDM所以kc·k广一1，即·-1，解得x号3.2即m32间 时，两条小路所在直线AC与DM互相垂直。 反思感悟 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 建立直角坐标系，通过坐标化的方法将实际问题转化为解析几何问题。 当堂检测提素养 1.已知A(2,0),3,3),直线1∥AB,则直线1的斜率k等于 (B) A.-3B.3C.D. 解析因为1∥B,且直线B的斜率长器3，所以直线1的斜率k3。 2.若经过点(3，a),(-2,0)的直线与经过点(3，-4④且斜率为方的直线垂直，则a的值为 (D) A.号 B号C.10D.-10 20 解析由题意得3-。=-=-2，所以-10。 3.若直线11,12的倾斜角分别为a1,2且11⊥12，则有 (C0 A.01-a2-90°B.a2-c1=90 C.a2-a1=90 D.a]+a2=180 解析由题意，知a1a2+90°或a2a+90°，所以a2-a1=90°。 4.若直线x2+5-0与直线2x+60互相垂直，则实数F1。 解析因为两直线垂直，所以1×2-2-0，得F1。 5.已知点A(2,2)和直线13x+4y-20-0。求： (1)过点A和直线1平行的直线方程： (2)过点A和直线1垂直的直线方程。 解(1)将与直线1平行的直线方程设为3x+4y+C-0,又所求直线过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14。所求直 线方程为3x+4y140。 (2)将与1垂直的直线方程设为4x3y+C20,又所求直线过点A(2,2),所以4×2-3×2+C20,所以C-2。所以所求直线方 程为4x-3y2-0。 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究·