第1章 §1 1.3 第1课时 直线方程的点斜式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3直线的方程 第1课时直线方程的点斜式 情境导入 课程标准 根据确定直线位置的几何要素探索 并掌握直线的点斜式方程。 观察如图的翘翘板则 1翘翘板所在直线过定点吗？ 2翘翘板的方向对应哪个几何要素？ 3.如何确定翘骁翘板时刻所在的直线方程？ 自主预习明新知 1.直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知经过点P(xa,yo)且斜率为 斜率为k,直线1在y轴上的 条件k 战距为b P(xe.yo) 图示 0 方程 形式 y-yo=k(x-xa) Y=kx+也 适用 条件 斜率存在 2.直线在y轴上的截距 方程ykx+b中的b为直线1在y轴上的截距。 符号：可正，可负，也可为零。 心微思考 1.利用点斜式表示直线方程的前提是什么？ 提示直线的斜率存在。 2.直线的斜截式方程ykx+b中，k和b的几何意义是什么？截距是距离吗？ ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 提示k是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标。截距是实数而不是 距离。 合作探究攻重难 类型一直线的点斜式方程 【例1】若直线1过点(2,1)，分别求1满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为135°； (2)平行于x轴： (3)平行于y轴： (4)过原点。 解(1)直线的斜率k=tan135°=-1，所以由点斜式方程得旷广1=-1×(x2)。 (②)平行于x轴的直线的斜率k0,故所求的直线方程为y1。 (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x2。 (4过点2,1)与点(0,0)的直线的斜率k专故所求的直线方程为y支x。 反思感悟 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标均可用直线的点斜式方程表示，直线的点斜式方程 应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x。 【变式训练】(1)已知直线的方程是y+2-x1,则 (©) A.直线经过点(-1,2)，斜率为-1 B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1 C.直线经过点(-1，-2)，斜率为1 D.直线经过点(2，-1)，斜率为1 解析直线方程y+2-x1可化为y(2)-[x(1)1,故直线经过点(-1，-2)斜率为-1。 (②)经过点P2,-3),且倾斜角为45°的直线方程为 0) A.x+y+1-0B.x+y1-0 C.x-y+50D.x-y-5-0 解析倾斜角为45°的直线的斜率为tn45°=1，又该直线经过点P2,3),所以用点斜式求得直线的方程为 y+3=x2,即x-y50。 (3)与直线3x2y0的斜率相等，且过点(4,3)的直线方程为 (C) Ay-3=号(x+4) B.y+3=(x-4) C.y-3=元(x+4) D.y+3=-号(r4) 解析 由直线3x2y0得-0-(x0),则斜率k号，从而所求直线的斜率也为。又所求直线过点(-4,3)，所以依据 点斜式方程可得y3-号[x(4]-号(x+4)。 类型二直线的斜截式方程 【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5： (②)在y轴上的战距为6，且与y轴夹角为60°； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3。 解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y-2x+5。 ②与y轴相胶夹角为60的直线倾斜角为30°或150所以斜率k为tan30°或am150°即士号故所求 直线的斜截式方程为广±6， (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率ktan60°√3。因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线 在y轴上的截距3或-3，故所求直线的斜截式方程为yV3x+3或yV3x3。 反思感情 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资原 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 斜截式方程的特点及应用(1)若能求得直线的斜率，且直线在y轴上的截距已知，可选用直线的斜截式方程直接求解 直线方程。(2)根据k,b的正负判断斜率和截距的几何意义时，k>0一直线呈上升趋势：k<0直线呈下降趋势：k=0一直线 星水平状态。b>0口直线与y轴的交点在x轴上方b×0心直线与y轴的交点在x轴下方；bO口直线过原点。 【变式训练】(1)直线y2x3在y轴上的截距是 (D) A.3B.2 C.-2 D.-3 解析对于直线y2x3,当x0时，y-3,因此直线y2x3在y轴上的截距为3。 (②)一条直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线 号x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是 (®) A52B.5x2 C.yr号x2D.y5x-2 解析所求直线斜率为V3,过点A(0,2),则点斜式方程为y2√5(x0),即5x2. (③)己知k+b0,k≠0，则直线ykx+b的位置可能是 (⑧) 不种头 解析因为直线方程为ykx+b,且k≠0，k+b0,即b-k,所以y=kx-k=k(x1),令y0,得1，所以直线与x轴的交点坐 标为(1,0)。只有选项B中的图象符合要求。 类型三点斜式、斜截式方程的应用 【例3】已知直线1：ykx+2k+1。 (1)求证：直线1过定点： (②)当-3<x<3时，直线1上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围。 解(1)证明由y-kx+2k+1,得y广1=k(x+2)。由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)。 1f(-3)≥0， ②)显然函数对kx+2k+1的图象是一条直线当3x3时直线1上的点都在x轴上方，需满足气f3)≥0， 即 -3k+2k+1≥0， 3k+2k+1≥0，解得专≤k≤1，所以实数k的取值范围是吉≤k≤1。 反思感悟 定点的确定方法：把含参直线方程化为点斜式的形式可得出定点坐标 【变式训练】求证：不论m为何值，直线1：y(m1)x+21总过第二象限。 正明直线1的方程可化为y-3=(m1)(x+2),所以直线1过定点(-2,3)。由于点(-2,3)在第二象限，故直线1总过第二 象限。 当堂检测提素养 1.直线1的点斜式方程是y2=3(x+1),则直线1的斜率是 (C) A.2 B.-1 C.3 D.3 解析由直线的点斜式方程可知直线1的斜率是3。 2.顿斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是 (D) A.=x+1B.=X1 C.y=-x+1 D.y=-X-1 解析由题意知，直线的斜率k=-1,又在y轴上的截距为-1，故直线方程为-x1。故选D。 3.直线=k(x2)+3必过定点，该定点为 () A.(3,1)B.(2,3) C.(2,-3)D.(-2,3) 解析直线方程为yk(x-2)+3,可化为3=k(x2),所以过定点(2,3)。 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.已知直线11的方程为y2x3,12的方程为y4x2,直线1与1的斜率相等且与12在y轴上的截距相同，则直线1的 方程是2x2。 解析由斜截式方程知直线1的斜率k1=-2,所以1的斜率k=k=一2。由题意知12在y轴上的截距为2，所以1在y轴 上的截距b-2,由斜截式可得直线1的方程为y-2x2。 5.求斜率为言，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程。 解设直线方程为y-言x+b,令x0得b,令0得6b,以专|b×|6b=3,所以b产-1，即r±1，所以所求的直线方 程为y言x士1。 ·独家授权侵权必究·