陕西省西安市高新第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

陕西省西安市高新第一中学 2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题 1.在递增的等比数列{a}中，aa=8,a,+a,=9,则数列{an}的公比为() A. B.2 C.3 D.4 2.由数字0,1,2,3,4组成的无重复数字的三位数的偶数的总个数为() A.12 B.18 C.30 D.60 3.已知函数f(x=ae2-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(). A.e2 B.e C.e- D.e 4。已知48C的内角4，B,C所对应的边分别为a,6,。,若4=号SnC=2nB则 g() A.2 B.3 C.2 D.5 5.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2√5，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相 切，则正四棱锥P-ABCD的体积为() A.83 B.12 C.125 D.36 6.若x=-2是函数f(x)=(x2+ar-1)e的极值点，则f(x)的极小值为() A.1 B.5e3 C.-2e3 D.-1 了已知椭圆C若+a>b>0)的左、右焦点分别为，月，以5为圆心的圆经过点月 且与y轴正半轴交于点A,若线段AF的中点在C上，则C的离心率是() A.5-1 B.√6-5 C.5-2 D.V2-1 8.已知公比为2的等比数列a,}满足a,=8,记b为a,}在区间(0，m](m为正整数)中的 项的个数，则数列b}的前100项的和S为( A.360 B.480 C.600 D.100 试卷第1页，共3页 二、多选题 9.如图所示为函数f(x)=si(@x+p)(o>0,0<p<元)的部分图象，则下列说法正确的 是() 12 6 Af闭=m2r+ B。)在区间受，司上单词递蜡 C.将f()的图象向右平移文个单位可以得到g()=cos2x的图象 12 D.方程f(x)=0在0，x)上有三个根 10.设函数f(x)=(x-1)(x-4),则下列选项错误的是(） A.x=3是∫(x)的极小值点 B.当0<x<1时，fx)<fx2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 11,已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线I与C交于A,B两点，D是C的准线 与x轴的交点，则下列说法正确的是() A.若8F=44F,则直线1的斜率为土 4 B.AF +4 BF 218 C.0<∠AOB<90°(0为坐标原点) AF D.当AD 取最小值时，AF=4 三、填空题 12.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 13.已知正三校台8C-48C的体积为号.8=6,4么=2，则41与平面BC所成 角的正切值为 试卷第1页，共3页 14.设函数f(x)=(x+m)n(x+n),若f(x20,则m2+n2的最小值为 四、解答题 15.记Sn为数列a}的前n项和，已知a,=1, 是公差为的等差数列 ()求(an}的通项公式 (2)证明： 1+L+…+1<2. aa a 16.已知函数f)=e(2x-9 x-1 (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间 (2)当x<1时，f(x)<1,求实数a的取值范围 17.如图，三棱柱ABC-A,BC,中，AB=BC=2,AC=2√2，BB=4,点M,N分别为AC, AB的中点，且B,M=4,AB⊥B,N. B (I)证明：B,M⊥平面ABC: (2)求平面ACC,4与平面B,MN夹角的余弦值. 18.已知双曲线C: -y2=1的右焦点为F,直线I与C的右支交于M,N两点. (1)若线段MN的中点坐标为 求直线的方程： ②当I过点F时，过点M,N分别作直线r:x=的垂线，垂足分别为M,N,且直线MN, MN交于点P,求△MPN面积的最小值 19.已知函数f(x=x2+ln(x+1. (1)求曲线y=fx在点(0，f(0)处的切线方程： 试卷第1页，共3页 (②)设g(x=f(x-ax,其中a>1. (1)求证：g(x)在区间(0，+o)上有唯一的极值点： (i)设m为gx在区间0，+0)上的零点，n为gx在区间(0，+0)上的极值点，比较2m与 m的大小，请说明理由. 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D 6 D 9 B AC ABD 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】由等比数列的性质有a,a=a,a,=8,易知a1,a4是方程x2-9x+8=0的两个根，再 由已知及等比数列的通项公式求公比 【详解】由题设a,a,=a,a4=8,易知a,a4是方程x2-9x+8=0的两个根， 又{a}为递增的等比数列，所以a=1,a,=8,故公比g=(色)=2 "a 故选：B 2.C 【分析】可用分步原理求解本题，可分为两类，一类是末位是0，一类是末位不是0 【详解】个数为0，有A=12个：个位不为0，有C,CC=18个故共有12+18=30个，故 答案为C 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是正确理解偶的含义，以及计数 原理，且能根据问题的要求进行分类讨论，本题考查了推理判断的能力及运算能力 3.C 【分析】根据fx)=-≥0在山，2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出. 】依题可知，"=ae-20在l,2上恒成立，显然a>0,所以xe 设gx)=xe',xe1,2),所以g'（x=(x+1e>0,所以gx在(1,2)上单调递增， g>g山=c,故e≥，即a≥=e,即a的最小值为e. e 故选：C 4.D 【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角B,进而 利用正弦定理得解 答案第1页，共2页 【详解】由于三角形的内角和为九即：48+C=已知4=子，所以：+C= 3 代入C=27-B到sinC=2sinB中，得到：sin 3 -82mB. 展开并化简：sin 3 cos B-cos 2π 2π 3 sinB=2sinB,即 -cos B+-sin B =2sin B, 2 整理得到： coscoB-3sin B.tan 3 2 2 3,B-3 6 b π√5 sin 根据正弦定理： 1π，即 =3= 2=5 sin sin π1 3 6 b sin 62 故选：D 5.B 【分析】由趣意，先判断正四棱锥的内切球的球心在其高线PH上，过点H作HE⊥AB于 点E,连接PE,过点O作OK⊥PE于点K,证明OK⊥平面PAB,得OK=OH=I,通过 计算依次求得EH,∠OEH,∠PEH,∠EPH,直至求得高线PH长，即可求其体积. 【详解】 因为球与该正四棱锥的各面均相切，所以该球的球心O在P-ABCD的高线PH上， 过点H作HE⊥AB于点E,连接PE,过点O作OK⊥PE于点K 因PH⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,则PH⊥AB, 又PHOHE=H,PH,HEC平面PHE,则AB⊥平面PHE, 因OKC平面PHE,故AB⊥OK,又ABPE=E,AB,PEC平面PAB,故OK⊥平面PAB 依烟意，0K=0H=1,因为底面边长为25，所以E=×25=5, 在R1AOEH中，an∠OEH=5=3,则∠HEO=元、 6 因0K=0H=1,则∠PBH=2∠0EH-背，则∠HPE 6 答案第1页，共2页 故PH=E班=5 63 故选：B. 6.D 【分析】求出导函数，由极值点-2求得参数a,再确定函数的极大值点，得极大值， 【详解】由题意f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1小e-,f'(-2)=(4-2a-4+a-1)e3=0,解得 a=-1,即f'(x)=(x2+x-2)e=(x-10x+2)e, x<-2或x>1时，f(x)>0,f(x)在(-0，-2)和(1，+o)上递增， -2<x<1时，f"(x)<0,f(x)递减， “x=1时，f(x)取得极小值f0)=-1 故选：D 【点睛】本趣考查用导数求函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键. 7.A 【分析】由对称性4-4，=2，得∠B=子设线段4C的中点为B得4C185 由椭圆的定义即可求解 【详解】设F:c,0j(c>0),由题知圆F的半径为2c,且4F=4F=2c,得△AFF3为等 边三角形， 则∠4B=胥设线段4的中点为B,则4机⊥8R,且BS=5BF=V5c, 因为点B在C上，所以BF+BF=2a得5+1c=2a, 即e=C=5-1,即C的离心率为5-1 故选：A 8.B 答案第1页，共2页 【分析】首先求出{α，}的通项公式，通过分析数列{b}的规律，由此求得数列b}的前100 项和So 【详解】解：因为a=8,9=2,所以a,=a9-3=2", 由于2=2,22=4,2=8.2=16,2=32,2=64,2=128，所以 b对应的区间为(0,1小，则h=0: b,b对应的区间分别为(0,2]，(0,3)，则b=b=1,即有2个1： b,b,b,b对应的区间分别为(0,4]，(0,51，(0,6，(0,7]，则b=b=b。=b,=2,即有22个2： b,b,…,bs对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，，(0,15]，则b,=b,=…=bs=3,即有23个3： b6,b,…,b1对应的区间分别为(0,16，(0,17]…，(0,31，则b6=b,=…=b1=4,即有24个4： b,b3…,b对应的区间分别为(0,32]，(033]…，(0,63]，则b,=b,==b=5,即有25个5： b4,bs,,b对应的区间分别为(0,641，(0,65]，…，(0,100]，则b4=bs==bo=6,即有37 个6. 所以S1=1×2+2×22+3×23+4x24+5×2+6×37=480. 故选：B 9.AC 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项求解判断 【详解】观察图象，得的最小正周期T=后-(》-石，解得。=2， 由f八=l,得2x(没+p=+2红eZ,而0<p<元，解得0=2 对于A,)=sin(2r+2,A正确： 对于B,当xe号可时，2x+号e停1，当2x+径受，即晋时 3 32 12 f田)取得最大值，因此f)在区间，对上不单调，B错误： 对于C儿-月=m-司+=m2x+受=as2,C正瑞： 对于D当xe0对时，2x+号e行的.由/=0，得2x+号=成2r+号-2 3 因此方程f(x)=0在(0，)上有2个根，D错误 答案第1页，共2页 故选：AC 10.ABD 【分析】A选项，求导分析极值点即可：B选项，根据∫(x的单调性比较大小：C选项， 根据复合函数的单调性得到∫(2x-1)的单调性，然后求范围即可：D选项，利用作差法比 较大小 【详解】f'(x=2x-1)(x-4)+(x-12=3x-1)(x-3), 令f'(x>0得x<1或x>3,令f'x<0得1<x<3, 所以f(x的单谓递增区间为-0，，(3，+0，单谓递减区间为1,3， 所以x=3是f(x)的极小值点，故A正确： 当-1<x<0时，f(2--f(x)=(1-x)2(-2-x-(x-1(x-4)=21-x3, 令gx=2(1-x，因为y=1-x单调递减，y=2x单调递增，所以g(x单调递减， 则f2-x-f(x>f(2)-f01=2>0, 所以f(2-x>f(x,故B正确 当0<x<1时，0<x2<1,且x>x2, 因为f(x)在(0,1)单调递增，所以f(x>fx),故C错： 当1<x<2时，1<2x-1<3,所以f(2x-1在1,2)上单调递减， f(2×1-)=f1=0,f2x2-1)=f3=-4, 所以-4<f(2x-1)<0,故D正确： 11.ABD 【分析】设出直线1：x=my+2,Ax,,B(x,y:,根据题意求出A -288，得到 斜率判定A:运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B:借助向量法计算 判定C:运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D 【详解】依题意得F(2,0),设直线1：x=my+2,Ax,,B(x,y2, 答案第1页，共2页 x=my+2 联立y=8x 得y2-8my-16=0,则片+为，=8m,,=-16, 88-到或行2小88，则直线1的斜率太=±手放A项正确 1a5+4BF=5+4+10=￡+发+10=32+上+10≥18. 8 2 2 当且仅当y=8时等号成立，故B项正确 因为O.0=5+=立+5=-12<0，所以∠408>90，故C项错误 64 D(-2,0,F(2,0,则2=8x,x>0,由抛物线的定义可得 4F=x+2,4D=Vx+2)2+另-0)2=VR+4x+4+8x=√+12x+4, AF 因为：>0，所以 x+2 x2+4x+4 AD V+12x+4V+12x+4 x2+12x+4 √2 +4+12 4 2 2 +12 X 当且仅当x=2时取等号，此时AF=4,故D项正确 故选：ABD 2号 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行 求解 答案第1页，共2页