6.3平面向量基本定理及坐标表示（3）-限时训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

班级： 姓名： 学号： 梦虽遥，追则能达；愿虽艰，持则可圆！ 组 编： 审 核： 使用日期： 平面向量的应用 数学限时训练 1．已知向量满足，则（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在中，若，则是() A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（） A． B． C． D． 4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（） A．6 B．2 C．8 D． 5．如图，．若点M为线段BD上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 6．已知向量若，则m等于（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题正确的是（） A．向量就是有向线段 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．零向量的方向是任意的，且长度为0 D．向量的长度与向量的长度相等 8．在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（）． A．，， B．，， C．，， D．，， 9．已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是： A．线段A、B的中点的广义坐标为（）； B．A、B两点间的距离为； C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1； D．向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0 三、填空题 10．已知向量满足，则 ． 11．设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 四、解答题 12．化简下列各式： （1）； （2）． 13．如图，已知为平面直角坐标系的原点，，. （1）求的坐标； （2）若四边形为平行四边形，求. 14．在中，内角、、所对的边分别为、、.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求角的大小； （3）求的范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B D B A BCD BD AC 1．C 【解析】根据平面向量的数量积公式，代入条件，计算即可. 【详解】. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，属基础题. 2．D 【分析】由正弦定理即二倍角正弦公式可得，进而得或，即可得出结论. 【详解】解：由正弦定理可得，所以，即， 因为A,B为三角形内角，所以或，所以或. 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 3．B 【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果. 【详解】由余弦定理可知， ， ， AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形， 是中点，， 由图可知向量在上的投影向量为 ， . 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型. 4．D 【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可. 【详解】根据题意，得 ， 的大小为. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量的应用问题，平面向量的合成法则与向量的模长公式，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于基础题. 5．B 【分析】由题设有、，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，则，设，利用向量数量积的坐标表示、结合二次函数的性质求最小值. 【详解】由题意知：，有且，即， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系， 设点，且满足，点， ∴，其中， 当时，的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设且在上，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最值. 6．A 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 7．BCD 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来，故A错误； 根据向量的概念，可知B、C、D正确. 故选：BCD. 8．BD 【分析】结合正弦定理和大边对大角，以及三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，在中，，可得， 由正弦定理可得，可得， 又由，所以在区间内有两解，所以有两解； 对于B中，在中，，可得， 由正弦定理可得，可得， 又由，所以 ，所以只有一解； 对于C中，由，当时，可得角在区间内有两解， 此时有两解； 对于D中，可得，又由，所以， 所以，所以有唯一解，又由，所以只有一解. 故选：BD. 9．AC 【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得． 【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确； 只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误； 由向量平行的充要条件得C正确； 与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确； 故选AC． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件． 10． 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，而， 则，所以. 故答案为： 11． 2 【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； 12．(1)； (2) . 【解析】根据向量的数乘运算和加减法运算法则进行计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题. 13．（1）；（2）. 【分析】（1）通过构造直角三角形求得对应边长，进而求得C点坐标，得出结果； （2）方法一：设，由平行四边形法则，，计算即可求得结果. 方法二：四边形为平行四边形，由，计算可得D点坐标，进而求得的坐标求得结果. 方法三：设，则为和的中点，由求得中点坐标,进而利用中点坐标公式求得点坐标，计算得出结果. 【详解】解：（1）如图1所示，过点作轴，轴，，、分别为垂足. 显然，，. 故，. 所以，从而. （2）方法1：如图2所示，设， 由平行四边形法则，， 由于，，所以. 方法2：由（1）知，. 由于四边形为平行四边形，所以， 设点，则. 又，故，解得，即. 所以，从而. 方法3：如图2所示，设，则为和的中点. 由（1）知，，，. 设点，则， 又，故， 故，从而. 14．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理结合大边对大角定理可求得角的值； （3）利用三角恒等变换思想化简所求代数式为，求出角的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得的范围. 【详解】（1） 因为，，所以； （2）由正弦定理有：，即, 所以， 又因为，所以，所以； （3）由题意得 因为，所以，则， 所以，故的取值范围是. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了三角形中角的正弦值相关的代数式的取值范围的求解，解答的关键在于利用三角恒等变换思想化简代数式，考查计算能力，属于中等题. 高一数学限时训练 一心向着目标前进的人整个世界都会为他让路 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$