课时达标检测(8)等比数列的定义与通项公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课时达标检测(八)　等比数列的定义与通项公式 学生用书P077 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为 (C) A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1 C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1 解析　由已知可得a1=2,q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1。 2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于 (A) A.-24 B.0 C.12 D.24 解析　由于数列为等比数列,则有公比q==2,所以=2⇒x=-3,因此首项为-3,公比为2的等比数列的第4项为a4=(-3)·23=-24,故选A。 3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于 (B) A.21 B.42 C.63 D.84 解析　由题意知=1+q2+q4==7,解得q2=2(负值舍去)。所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42。 4.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2…a10=265,则通项an为 (C) A.2n B.2n C.2n+1 D.2n+1 解析　由题可知所以所以通项an=4·2n-1=2n+1。故选C。 5.在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5的值为 (B) A.16 B.27 C.36 D.81 解析　因为a1+a2=1,a3+a4=9,所以q2=9。所以q=3(q=-3舍去),所以a4+a5=(a3+a4)q=27。 6.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1。若am=a1a2a3a4a5,则m等于 (C) A.9 B.10 C.11 D.12 解析　在等比数列{an}中,因为a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=q10=q10。因为am=a1qm-1=qm-1,所以m-1=10,所以m=11。 二、多项选择题 7.有下列四个说法,其中正确的为 (BC) A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是R且不为零 C.若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1 D.若=则数列{an}为等比数列 8.已知{an}为等比数列,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3的值为 (AB) A.4 B.-4 C.-3 D.3 解析　因为q≠±1,所以两式相除得=,即2q2-5q+2=0,所以q=2或q=。当q=2时,a1=1,从而a3=4。当q=时,a1=-16,从而a3=-4。故选AB。 三、填空题 9.已知数列{an}满足an+1=3an+2,且a1=1,则an= 2×3n-1-1 。  解析　设an+1+A=3(an+A),化简得an+1=3an+2A。又an+1=3an+2,所以2A=2,即A=1。所以an+1+1=3(an+1),即=3。所以数列{an+1}是等比数列,首项为a1+1=2,公比为3。则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1。 10.已知等比数列{an},a1=2,a4=-2,则{an}的通项公式an= 2×(-1)n-1 ,a6= -2 。  解析　因为a1=2,a4=-2,则a4=-2=a1q3,所以q3=-1,q=-1,即an=2×(-1)n-1,a6=-2。 11.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= 1 。  解析　{an}为等差数列,a1=-1,a4=8=a1+3d=-1+3d,所以d=3,所以a2=a1+d=-1+3=2。{bn}为等比数列,b1=-1,b4=8=b1·q3=-q3,所以q=-2,所以b2=b1·q=2,则==1。 四、解答题 12.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an。设bn=。求证:数列{bn}为等比数列。 证明　由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列。 13.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0。 (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式。 解　(1)由题意可得a2=,a3=。 (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1)。因为{an}的各项都为正数,所以=。故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=,n∈N+。 素养提升 14.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思。今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为  。  解析　设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得,28,28q石,所以+28+28q=98,所以q=2或。又0<q<1,所以q=。 15.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2a5=。 (1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式。 (2)试问-是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由。 解　(1)证明:因为2an=3an+1,所以=。又因为数列{an}的各项均为负数,所以a1<0,所以数列{an}是以为公比的等比数列。所以an=a1·qn-1=a1·,所以a2=a1·=a1,a5=a1·=a1,又因为a2·a5=a1·a1=,所以=。又因为a1<0,所以a1=-。所以an=×=-(n∈N+)。 (2)令an=-=-,则n-2=4,n=6∈N+,所以-是这个等比数列中的项,且是第6项。 学科网（北京）股份有限公司 $$