课时达标检测(6)等差数列前n项和的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课时达标检测(六)　等差数列前n项和的概念 学生用书P073 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20= (B) A.230 B.420 C.450 D.540 解析　S20=20×2+×2=420。 2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11= (B) A.58 B.88 C.143 D.176 解析　由题意知a4+a8=a1+a11=16,所以S11==88。 3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于 (D) A.8 B.7 C.6 D.5 解析　因为Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以k=5。 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3+S6=27,则a2+a4= (B) A.3 B.6 C.9 D.12 解析　因为S3+S6=3a1+3d+6a1+15d=9a1+18d=27,所以a1+2d=3,所以a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2(a1+2d)=2×3=6。故选B。 5.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是 (B) A.24 B.48 C.60 D.72 解析　设等差数列{an}的公差为d,由题意可得解得所以S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48。故选B。 6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为 (C) A.6 B.7 C.8 D.9 解析　由题意知,S7=7a4<0,a4+a5>0,所以S8==>0。故选C。 二、多项选择题 7.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 (BC) A.11 B.12 C.13 D.14 解析　因为an=26-2n,所以an-an-1=-2(n>1且n∈N+)所以数列{an}为等差数列。又a1=24,d=-2,所以Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-n-2+。因为n∈N+,所以当n=12或13时,Sn最大。故选BC。 三、填空题 8.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n(n∈N+),则数列{an}中前 12 项为正数。  解析　当n=1时,a1=S1=-1+24=23>0,当n≥2时,Sn-1=-(n-1)2+24(n-1),an=Sn-Sn-1=-n2+24n-[-(n-1)2+24(n-1)]=-2n+25。因为a1=23符合上式,所以an=-2n+25。由-2n+25>0,得n<,即n=1,2,3,4,…,12。 9.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则S10= 25 。  解析　设等差数列{an}的公差为d,因为a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+(-2)+5d=2,整理可得6d=6,解得d=1,所以S10=10×(-2)+=-20+45=25,所以S10=25。 10.设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 an= 。  解析　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1。当n=1时,a1=S1=1+1=2,不适合上式。所以数列{an}的通项公式为an= 11.在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn(n∈N+),其中a,b为常数,则a= 2 ,b= - 。  解析　因为an=4n-,所以{an}为等差数列,且a1=,d=4,所以an2+bn=a1+a2+…+an=n+×4=2n2-n。所以a=2,b=-。 四、解答题 12.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前k项和Sk=2 550,求a及k。 解　设等差数列{an}的公差为d,则由题意得所以所以a=2,k=50。 13.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m。 (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解　(1)设n分钟后相遇,由题意,得2n++5n=70,整理得n2+13n-140=0。解得n=7,n=-20(舍去)。所以第1次相遇是在开始运动后7分钟。 (2)设n分钟后第2次相遇,由题意,得2n++5n=3×70,整理得n2+13n-420=0。解得n=15,n=-28(舍去)。所以第2次相遇是在开始运动后15分钟。 素养提升 14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200= 100 。  解析　因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O),所以a1+a200=1,所以S200==100。 15.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=+an-。 (1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解　(1)证明:当n=1时,a1=S1=+a1-,解得a1=3或a1=-1(舍去)。当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(+2an-3)-(+2an-1-3)。所以4an=-+2an-2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0。因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2)。所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列。 (2) 由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1。 学科网（北京）股份有限公司 $$