5.2.1 第1课时 等差数列的定义与通项公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+数辅专家 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的定义与诵项公式 自主预习 明新知 知识点一、等差数列的定义 如果数列{a。)从第2项起.每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d.即aa+1-。=d恒成立,则称fa.为等差 数列,其中d称为等差数列的公差。 知识点二、等差数列的通项公式 一般地.如果等差数列[a.)的首项是a.公差是d.则其通项公式为a.=a+(n-1)d 知识点三、等差数列与函数 因为a.=a+(n-1)d=nd+a-d.所以,如果记f(x)=dx+a-d.则可以看出a.=fin).而且 (1)当公差d-0时,fx)是常数函数,此时数列(a)是常数列(因此.公差为0的等差数列是常数列): (2)当公差dz0时,fix)是一次函数,而且ffx)的增减性依赖于公差d的符号,因此.当d>0时.{a.是递增数列:当 d<0时,fa)是递减数列. (1)等差数列通项公式的其他形式 ①a.=am+(n-m)d ②a.=an+b(a.b是常数). (2)等差数列的判断方法。 ①定义法:a-a1=d(n>2)或an.-a.=d→数列fa)是等差数列. ②通项公式法:a。=an+b数列fa。)是以a.=a+b为首项、以a为公差的等差数列。 思考 1.试证明“若数列的通项公式为a.=an+b.则数列[a)是等差数列”。 提示:证明:因为a=an+b.所以an-1=a(n-1)+b(n→2).所以a,-a1=(an+b)-[a(n-1)+b]=an+b-an+a- b-a(常数)。由此可见[a)是等差数列,且公差是a。 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.7XXKCom 您身边的互联网+数辅专家 2.等差数列中的公差可以理解为一次函数中的哪个量 m-n 合作探究 攻重难 类型一 等差数列的概念 【例1】 若数列{a的通项公式为a.=10+ld2”试说明数列{a.1为等差数列 解 因为a.=10+lq2=10+nlq 2.所以an+-.=[10+(n+1)lq2-(10+nlq2)=lq2(nEN )。所以数列 [a.)为等差数列. 反思感悟 判断一个数列是不是等差数列,就是判断从第二项起 该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数 但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这 时可以验证q-q(n1.nEN.)或者g-(n>2.nEN.)是不 是一个与n无关的常数。 【变式l练】 判断下列数列是不是等差数列。 (1)9.7.53.....-2n+11....: (2)-1.11.23.35....12n-13....: (3)1.2.1.2....: (4)1.2.4.6.8.10...: (5)a,a.a.a.a..。 解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列.(3)(4)不是等差数列 类型二 等差数列的通项公式 【例2】 (1)若[a.)是等差数列.a1s=8.a60=20.求a75 _64 a1s=a+14d-8 解 设fa。]的公差为d.首项为a。由题意知 解得{ a6o=a+59d-20 4 15。 +74x- (2)已知递减等差数列{a。3的前三项和为18.前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断,-34是该数列的项吗7 a.+a.+a.=18 解。依题意得 a:'2·a=66. 3a.+3d-18. 所以{ 解得 d--5,-d-5。 a.·(a.+d)-(a.+2d)=66. 因为数列fa)是递减等差数列,所以d<0。故取 $a=11.d=-5.所以a=11+(n-1)(-5)=-5n+16.即等差数列[a)的通项公式为a.=-5n+16令a=-34.即 5n+16=-34.得n=10.所以-34是数列fa.)的第10项 反思感悟 求等差数列的通项公式的一般思路 方程思想:设出基本量a.与d.利用条件构建方程组.求出a 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxkcom 您身边的互联网+教辅专家 与d即可写出数列的通项公式 事实上.已知等差数列中的两项时,利用a.=a.+(n-m)d求出 公差d就可绕过求首项a直接写出等差数列的通项公 式。 【变式训练】 在等差数列fa)中,已知a4-70.a21=-100.求出数列的首项a.与公差d.并写出通项公式 70=a.+4-1)d 解 根据题意,设a.=a1+(n-1)d.则有 -100=a.+(21-1)d. 解得a.=100.d=-10.所以通项公式a.=100- 10(n-1)=-10n+110. 类型三 利用函数性质解决数列问题 【例3】 若数列fa)为等差数列,a=q.a。=p(pxq).则a=0。 解析 解法一:设等差数列fa.)的公差为d.则a.=a。+(p-g)d.所以q=p+(p-g)d.即q-p=(p-q)d.因为p:q.所 以d=-1.所以a=a+(p+q-p)d=q+q(-1)=0。 解法二:因为数列{a.)为等差数列.所以点(n.a)在同一条直线上。不妨设p<q.记点A(p.g).B(q.p).则直线AB的 qp 反思感悟 (1)等差数列的图像是同一条直线上均匀分布的一系 列孤立的点,因此涉及等差数列中的项、过两点的直线的 斜率等的问题,利用多点共线可快速求解 (2)若a.b.c是等差数列.公差为d(dz0)目(a.).(b.m).(c.n) 三点共线,则 m-In-m b-ac-b -=k(k为常数).所以m-=n-m=kd 那么/.m.n成等差数列。反之.若a.b.c和/.m.n两组数都成 等差数列.则点(a./).(b.m)(c.n)必共线 【变式ll练】 已知数列{a.)是等差数列.a4=15.a=27.则过点P(3.a).O(5.a-)的直线的斜率为 (A) A.4 C-4 解析 由数列(aoJ是等差数列,知a.是关于n的“-次函数”,其图像是一条直线上均匀分布的点,因此过点 27-15 P(3.a).O(5.a)的直线即过点(4.15).(7.27)的直线.所以直线的斜率k= _4. 7-4 当堂检测 提素养 1.若数列fa。)满足a,=a.+1.则数列fa.)是 (A) A.公差为1的等差数列 B.公差为-1的等差数列 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+数辅专家 D.不是等差数列 解析。 由a.i=a,+1.得an+1-a.=1.所以数列{a.)是公差为1的等差数列 2.已知等差数列{a。)的通项公式a.=4-2n(nEN.).则a= (C) A.4 B.2 C.-4 D-2 解析 由题意知.当n=4时.a4=4-2x4--4.故选C 3.在等差数列(aa]中,a:+3aa+a1;=120,则a3+a1s-as的值为 (A) A.24 rB.22 C.20 D-8 解析 $a+3a+a=a+3(a+5d)+a+10d-5a+25d=120.所以a+5d=24.a+a-a=a+5d=24.故$$ A. 4.在等差数列(a3中,a-7.a5-a2+6,则a=13。 a一7, a。+d=7. [d=2 解析 由 5.在等差数列(a.】中,已知a:-1a:+as-4.an=33.求n的值。 1 21 解得n-50. 独家授权侵权必究