5.3.1 第1课时 等比数列的定义与通项公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.3等比数列 5.3.1等比数列 第1课时 等比数列的定义与通项公式 情境导入 课程标准 将张厚度为0.044mm的白纸一次又一次地对折，对折1000次（假设 1理解等比数列的定义并能利用定义 是可能的)，纸的厚度将是4.4x10296m,相当于约5.0x1022个珠穆朗玛蜂的高 判断或证明一个数列是否为等比数列： 度和，这可能吗？一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就 2掌握等比敖列的通项公式的概念，能 能顺着它在今天晚上肥上月球。将一张报纸对折会有那么大的高度吗？这 就是我们今天要解决的问题。 利用通项公式求某一项。 自主预习明新知 知识点一、等比数列的定义 如果数列a从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于回二个常数q即芒-q恒成立，则称{为等比数列，其中 q称为等比数列的公比。 知识点二、等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{a的首项为a,公比为g,则等比数列的通项公式为，=(n∈N)。推广形式为 ana·(n,m∈N)。 今微提醒 类比等差数列通项公式的推导过程，可得到等比数列通项公式。 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列侧可用累乘。根据等比数列的定义得 -q,元4子qna1q(n≥2)。 将上面广1个等式的左、右两边分别相乘， 得·爱·是·…品=产1，化简得武-1即a(≥2. 当F1时，上面的等式也成立。 所以aaqr1(n∈N)。 令微思考 等比敖列各项满足什么条件？ 提示等比数列各项均不为零。 合作探究攻重难 类型一等比数列的判定 【例1】 判断下列数列是否为等比数列。 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 01,33,33r1。 (2)-1,1,2,48 (3)aa. 3"-1 解（(1)记数列为a显然a=1,a3a,31因为元33(n≥2，n∈N),所以数列为等比数列，且公比为3。 (②记数列为a,显然=1，a1,a2因为景1≠爱-2，所以此数列不是等比数列。 (3)当a=0时，数列为0,0,0…是常数列，不是等比数列当a≠0时数列为a,a2,,a4,a,显然此数列为等比数列，且 公比为a。 反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第2项起。②要判定每一项，不能有例外。③每一项 与前一项的比是同一个常数，且不能为0。 【变式训练】下面四个数列 ①1,1,2,4,816,32,64： ②在数列a中，已知受2，是2 ③常数列a,ar,a ④在数列a中，芒-gq≠0，其中n∈N。 其中是等比数列的有④。（只填序号） 类型二等比数列的证明 【例2】数列{a}满足a1=-1,且a.3ar1-2n+3(广2,3)。求2，a,并证明数列a是等比数列。 解ag3a-2×2+3=-4a时3a-2×3+3=-15。下面证明{a是等比数列：+1_a,-2*14-+型3a-3测 a-n a-n -3(r12,3,)。又1-1=-2，所以{a川是以2为首项，以3为公比的等比数列。 反思感悟 判断-一个数列是否是等比数列可以通过芒=q9为常 数且不为零)口{aJ为等比敖列或者a=aq1(a10且q≠ o){a}为等比数列。 【变式训练】 已知数列是首项为2，公差为1的等差数列，令，()”，求证数列是等比数列，并求其通项 公式。 解由已知得42“x山3n故袋)*9)之所以数列4是比数列因去 b(3)1所以b()×223. 类型三等比数列项公式的应用 【例3】在等比数列{a中， (1)a4-2,a8,求a10 (2)ata-18,ta69,an1,求 (3)a-2,ata4号，求an a4=a1q3=2 @ 解(1)因为 a7=a196=8 ②。 由ǒ得-4，由aa。·q得a。a·g-32。 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a2+a5=a19+a1q4=18 ③， ②因为a3十a6=a192+a195=9 ④ 由司得之，从而a32,又a1,所以32×（传）11，即22所 以6。 )设等比数列a的公比为a则q≠0。a号号，a,a2a,所以号2a号解得a言，3。当cr寺时，a=18,所以 a18×(传)12×3，当F3时a号，所以4，音×3r2X33.综上当专时42X3当3时a2X3 反思感悟 ©：和g是等比数列的基本量只要求出这两个基本量 其他量便可迎刃而解。此类问题求解的通法是根据条件， 建立关于a1和g的方程（组），求出ā：和9。 【变式训练】在等比数列{a}中： (1)已知a=3,F-2,求a (2)己知as-20,a6160,求an 解(1)由等比数列的通项公式得，6-3×(-2)5-1=-96。 (192=20, （9=2, ②)设等比数列的公比为4那么a195=160,解得1a1=5。所以a4,a4广5×2 类型四构造等比数列 【例4】已知数列{a」满足a1=2an+3X5”,a16,求数列{a的通项公式。 解设a1+x×5*1-2(an+x×59①，将a*12an+3×5”代入①式，得2a3×5+x×5*1=2a,2xX5,等式两边消去 2a得3×5n+x×5*1=2x×5,两边除以5，得3+5x=2x,则x-1,代入①式得a1-50*1=2(a,-5)②。由a1-51=6-5=1≠0及 ②式得5≠0，则2-5 8-5”=2,则数列a,5列是以1为首项，2为公比的等比数列，则a,5-2r-1故4,2-1+5。 反思感悟 型如a1=pan+q(其中p,g为常数且pg(p-1)0)可用待 定系数法求得通项公式，步如下。 第一步，假设将递推公式改写为a1+t=p(an+t: 第二步，由待定系数法解得tp气： 第三步，写出数列{an十马了的通项公式 第四步，写出数列{a}通项公式。 【变式训练】 设数列a时满足关系式：a,号an1+5(a≥2，n∈N),a=号，求数列a的通项公式。 解由题意，得a+10=号(ar1+10n≥2，n∈)，所以数列(a+10)是首项为a+103,公比为号的等比数列，所以a+10= 是×()()”即4()”10. 当堂检测提素养 1.在等比数列{ad中，a28,as=64,则公比q为 (A) A.2B.3C.4D.8 解析由asaq,得q-8,所以q2。 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.在等比数列{a}中，a1=8,a-64,则出等于 (C A.16B.-16 C.32D.-32 解析因为aa1,得2，所以号-32。故选C. 3.已知数列a,a(1-a,a(1-a2是等比数列，则实数a满足 (D) A.a≠1B.a≠0或a≠1 C.a≠0D.a≠0且a≠1 解析因为a,a(1-a),a(1-a2,.…是等比数列，所以a满足a≠0，a(1-a)≠0，a(1-a)产≠0，所以a≠0且a≠1。 4.已知等比数列{a}满足a+a23,a2+a6,则a64。 a:+a, 解析因为a为等比数列，所以r+T2。又+a3,所以a1l,故×23-64， 5.已知数列{a小，a12,a*12a+3。 (1)求证：{an+3)是等比数列 (2)求数列{a}的通项公式。 解(a证明由an24,3得a13-2A62a+3,所以2.所以a3是以43=5为首项以2为公比a的等比数 (2) 由(1)知an+3-5·2r1,所以a,=5×2n-1-3。 ·独家授权侵权必究·