精品解析：山东省临沂第十八中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

临沂第十八中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷 一､单项选择题 1. 关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误； 对于D，当时，，，此时未必共线，D错误. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将钝角化简为锐角，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：B. 3. 化简，所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据向量加减法运算规则去求化简即可. 【详解】， 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接使用半角公式（或逆用二倍角公式得到半角公式）即可. 【详解】. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式计算出，在代入正切二倍角公式即可. 【详解】原方程可化为，故. 故选：D 6. 已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（ ） A. 0.125Hz B. 0.25Hz C. 0.4Hz D. 0.5Hz 【答案】B 【解析】 【分析】设该简谐振动的周期为，根据列方程求出，进而可得频率的值. 【详解】设该简谐振动的周期为，， 因为，则， 解得 ， 故选：B 7. y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是　(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】方法一： 由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．选B． 方法二： 由x∈[0，2π]可得，所以，故函数y＝1＋sin x的最大值为2， 所以直线y＝2与函数y＝1＋sin x的图象只有1个交点．选B． 8. 若，则（ ） A. B. 2 C. -2或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式，结合已知条件即可求解. 【详解】由于，故，即. 所以. 故选：B. 二､多项选择题 9. 已知函数则（ ） A. 的最小正周期为π B. 的最小值为4 C. 函数为奇函数 D. 的图象对称轴为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，再结合余弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】函数， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，当时，取得最小值4，B正确； 对于C，不是奇函数，C错误； 对于D，由，得，则的图象对称轴为，D正确. 故选：ABD 10. ，，下列说法正确的是（ ） A. 有1解 B. 有2解 C. D. ，将向右平移个单位得到，为奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】令原方程可化为，结合余弦函数性质判断方程的解，判断AB，由条件结合关系利用两角和正弦公式求结论，判断C，根据函数图象变换结论求，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，所以， 令，则，， 当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 又， 所以存在唯一的，满足条件， 即存在唯一，满足条件， 即，只有一个解，A正确，B错误； 因为，， 结合选项A知，， 所以， ， 所以，C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数，D正确； 故选：AD. 11. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合得，，进而得，可判断AD；进而得或或，再分别讨论的最大值问题即可判断BC. 【详解】解：因为，， 所以， 所以，，故A选项正确； 所以，，即； 所以，故D选项正确； 所以或， 所以或或，故B选项错误； 当时，， ，当且仅当时，此时，不满足内角和定理，所以； 同理，当时，； 当时，， ，当且仅当时，此时，满足题意. 综上，最大值为，故C选项正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用诱导公式得，再化为，结合二倍角公式构造齐次式、由弦化切，即可求解. 【详解】∵，则， ∴. 故答案为： 13. 已知，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件,使用诱导公式及二倍角公式，化简，然后代值即可. 【详解】由题意，因， 所以 故答案为：. 14. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边的关系,再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解. 【详解】设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1 因为小正方形与大正方形的面积之比为 所以小正方形的面积为,则小正方形的边长为 由图可知 且, 两式相乘可得 化简可得 解得 故答案为: 【点睛】本题考查了三角函数的应用,余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用,关键在与理清边长与角的关系,属于中档题. 四､解答题 15. 已知 （1）将化成最简形式； （2）求满足的x的集合． 【答案】（1）= （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及弦切互化化简即可. （2）由题意，利用二倍角及诱导公式化简得，解得，然后根据正弦函数性质解不等式即可. 【小问1详解】 ∵， ∴. 【小问2详解】 结合（1）知，即为， ∴， ∴，∴， ∴， 故x取值的集合为． 16. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）若，且，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简得，再利用同角三角函数基本关系求得，即可得解； （2）结合已知角的范围及同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的正弦公式求得，然后根据角的范围求解角即可. 【小问1详解】 ， 由，得，又，所以，所以. 【小问2详解】 由得，所以， 又，所以. 由于，故，，， 所以，，故， ， 所以 ， 又因为，故. 17. 已知． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而利用求出最小正周期，并整体法求出单调递增区间； （2）根据及求出，结合三角函数定义得到，由余弦二倍角公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故最小正周期为， 令，，解得，， 故单调递增区间为 【小问2详解】 ，即， 因为，所以， 故，解得， 角的终边与单位圆交于点，故， 所以 . 18. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】（1）； （2）详见解析；元. 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【小问1详解】 在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 【小问2详解】 由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 19. 已知函数的图象关于轴对称. （1）求； （2）求的最大值和此时的的集合； （3）设函数.已知在处取最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，集合为 （3） 【解析】 【分析】（1）首先对进行化简，再利用是偶函数，转化为对一切恒成立求解； （2）由（1）知，，得，化简可得，从而进行求解即可； （3）由（2）得，则，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，则可得，从而进行求解. 【小问1详解】 ， 因为函数的图象关于轴对称，因此是偶函数， 所以，即， 所以对一切恒成立，则，. 【小问2详解】 因为，，所以， 故， 因此，的最大值为，此时的集合为. 【小问3详解】 . 由在处有最小值，知的图象关于对称， 又点在函数图象上，有， 故，且， 从而，， 则，即， 又，，所以，， ，，得，. 当时，， 显然，在处有最大值，而不是最小值，故矛盾； 当时，， 显然，在处既不是有最大值，也不是最小值，故矛盾； 当时，， 显然，在处取最小值，且的图象关于点中心对称. 所以，的最小值为. 【点睛】方法点睛：先将化为的形式，然后用辅助角公式化为的形式，再借助的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂第十八中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷 一､单项选择题 1. 关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 2. （ ） A. B. C. 1 D. 3. 化简，所得的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（ ） A. 0.125Hz B. 0.25Hz C. 0.4Hz D. 0.5Hz 7. y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是　(　　) A 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若，则（ ） A. B. 2 C. -2或 D. 或2 二､多项选择题 9. 已知函数则（ ） A. 的最小正周期为π B. 的最小值为4 C. 函数奇函数 D. 的图象对称轴为 10. ，，下列说法正确的是（ ） A. 有1解 B. 有2解 C. D. ，将向右平移个单位得到，为奇函数 11. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 三､填空题 12. 已知，则______. 13. 已知，则________________. 14. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______. 四､解答题 15. 已知 （1）将化成最简形式； （2）求满足的x的集合． 16. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）若，且，，求值. 17 已知． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求． 18. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 19. 已知函数的图象关于轴对称. （1）求； （2）求的最大值和此时的的集合； （3）设函数.已知在处取最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $