精品解析：山东省淄博市周村区（五四制）2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 2. 在反比例函数y=图像的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. k>1 B. k>0 C. k≥1 D. k<1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质得出k-1＜0，进而得出k的取值范围． 【详解】∵在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而增大， ∴k-1＜0， ∴k＜1， ∴k的取值范围为：k＜1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 3. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数．先用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：D 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 5. 如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据圆内接正六边形性质求出中心角，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后利用弧长公式即可得． 【详解】图，连接OB、OC， 由题意得：， 正六边形是的内接正六边形， 中心角， 又， 是等边三角形， ， 则的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握圆内接正六边形的性质是解题关键． 6. 如图，在中，，．以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积是扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵把逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．过点M作于D，连接．设的半径为R，因为四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边为弦的与x轴相切，点A的坐标为，所以，，在中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可． 【详解】解：过点M作于D，交于点E．连接，设的半径为R． ∵以边为弦的与x轴相切，， ∴， ∴是直径的一部分； ∵四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为， ∴，； ∴（垂径定理）； 在中， 根据勾股定理可得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A． 8. 小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（　　） A. 无论x取何实数，y的值都小于0 B. 该抛物线的顶点始终在直线y＝x－1上 C. 当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2 D. 该抛物线上有两点A（，），B（，），若＜，+＞2h，则＞ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可． 【详解】解：A、∵，－1<0， ∴当h＜0时，函数的最大值为y＝－h+1＞0，故该选项错误； B、∵抛物线的顶点为（h，－h+1）， ∴抛物线的顶点始终在直线y=－x+1上，故该选项错误； C、∵抛物线开口向下，当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大， ∴h≥2，故该选项错误； D、∵抛物线上有两点A（，），B（，），若＜，+＞2h， ∴h， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∴＞，故该选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 9. 如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，待定系数法求解析式． 过点E作于点F，由矩形的性质与三角形中位线的性质得到，设点A的坐标为，点E的坐标为，则，得到．根据，推出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点F， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点A的坐标为，点E的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 10. 如果，那么锐角___________度． 【答案】45 【解析】 【分析】根据三角函数的值，求角的度数. 【详解】解：∵，为锐角， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 11. 抛物线与x轴有且只有1个公共点，则b=_______________． 【答案】±4 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有且只有1个公共点可知，当时，此方程有且有两个相等的实数根，根据=算出b的值即可． 【详解】∵抛物线与x轴有且只有1个公共点， ∴令=0， ∴， ∴=±4， 故答案为：±4． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，正确把握抛物线与x轴交点个数确定方法是解题的关键． 12. 如图，A，B，C是上的点，，点D在优弧上，连接．若，，则的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，连接，可得，根据即可求解. 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：2 13. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵的垂直平分线分别交边于点E、F． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，是的直径，点是上的一个动点，连接，点是线段的中点，连接并延长与相交于点，若，则线段的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，垂径定理得到，进而得到点在以为直径的上，圆周角定理得到，进而得到，得到当最大时，的值最大，进而得到当与相切于点时，最大，连接，得到，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点是线段的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴当最大时，值最大， ∴当与相切于点时，最大，此时， ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，切线性质，最大张角问题，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 15. 如图，是由12个同样大小的正方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图，理解三视图的定义是解题的关键． 根据主视图、左视图的定义画出图形即可． 【详解】解：主视图： ； 左视图： ． 16. 如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）过点作的垂线交的延长线于点，则．易得，利用三角形的面积公式即可得解； （2）在中，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 过点作的垂线交的延长线于点，则， ， ． ． ， 根据勾股定理得： ． ． 【小问2详解】 在中，， ，，， ． 17. 已知二次函数 （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x取值范围． 【答案】（1） （2）与 （3） 【解析】 【分析】(1)把解析式化成顶点式，即可解答； (2)令，解方程即可求得； (3)根据此二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标，即可求得 【小问1详解】 解：， 故此二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， 故此二次函数图象与x轴的交点坐标为与； 【小问3详解】 解：， 此二次函数图象的开口向上， 又此二次函数图象与x轴的交点坐标为与， 当时，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题及性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的关键． 18. 某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元． （1）若降价3元后商场平均每天可售出 个玩具； （2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)46；(2)y=-2x2+40x+1600(0≤x≤40)；(3)售价定为90元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1800元. 【解析】 【分析】(1)根据：降价后销量=降价前销量+增加的销量，列式计算即可； (2)根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式；根据降价后价格不小于进价，确定x的范围； (3)将(2)中函数表达式配方成顶点式，结合x的范围可求出最大利润． 【详解】解：(1)40+3×2=46； (2)y=(100－x－60)(40＋2x) =-2x2+40x+1600(0≤x≤40)； (3)y=-2x2+40x+1600 =-2(x－10)2＋1800 ∵a=-2＜0， ∴当x=10时y有最大值1800元， 此时售价为：100－10＝90. 答：售价定为90元时，可使每天获得的利润最大1800元. 故答案为(1)46；(2)y=-2x2+40x+1600(0≤x≤40)；(3)售价定为90元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1800元. 【点睛】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，主要利用了利润=每个玩具的利润×销售量，求函数的最值时，应注意自变量的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P在x轴上，求的最大值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质； （1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可； （2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可； （3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 把代入得：， ∴， ∴， 由函数图象得，不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P， 由对称性可知， ∴， 在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴ ∴的最大值． 20. 如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D． （1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）； （2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2． 【解析】 【分析】（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α； （2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得OM＝BM＝r，然后根据勾股定理得到即（r）2+r2＝（）2，再解方程即可得到⊙O的半径． 【详解】解：（1）连接OE，OF，如图， ∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴∠DOF＝∠DOE． ∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α， ∴∠DOF＝2α， ∵FD为⊙O的切线， ∴OF⊥FD． ∴∠OFD＝90°． ∴∠D+∠DOF＝90°， ∴∠D＝90°﹣2α； （2）连接OM，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴O为AB中点，∠AEB＝90°． ∵M为BE的中点， ∴OM∥AE， ∵∠A＝30°， ∴∠MOB＝∠A＝30°． ∵∠DOF＝2∠A＝60°， ∴∠MOF＝90°， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OMB中，BM＝OB＝r， OM＝BM＝r， 在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2． 即（r）2+r2＝（）2，解得r＝2， 即⊙O的半径为2． 【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知切线的判定定理及勾股定理的应用. 21. 如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线相交于．弦平分，交直径于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，即可得到平分； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得出，根据余角的性质可得出，然后根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可得出，最后根据等角对等边即可得证； （3）连接，证明，根据，求出，证明，得出，根据，得出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接． ， ． 是的切线，， ， ． ．即平分． 【小问2详解】 证明：是直径， ， 又， ． 又，，． ． ． 【小问3详解】 解：连接． ， ． 又是直径， ． ， ． ，， ． 又， ． 设，则， 在中，， 解得，． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质，勾股定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 22. 已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； （3）如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【小问1详解】 解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． 【小问3详解】 解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在反比例函数y=图像的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. k>1 B. k>0 C. k≥1 D. k<1 3. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（　　） A. 无论x取何实数，y的值都小于0 B. 该抛物线的顶点始终在直线y＝x－1上 C. 当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2 D. 该抛物线上有两点A（，），B（，），若＜，+＞2h，则＞ 9. 如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 10 如果，那么锐角___________度． 11 抛物线与x轴有且只有1个公共点，则b=_______________． 12. 如图，A，B，C是上的点，，点D在优弧上，连接．若，，则的半径为______． 13. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则________． 14. 如图，是的直径，点是上的一个动点，连接，点是线段的中点，连接并延长与相交于点，若，则线段的最大值是______． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 15. 如图，是由12个同样大小的正方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 16. 如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 17. 已知二次函数 （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 18. 某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元． （1）若降价3元后商场平均每天可售出 个玩具； （2）求y与x函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P在x轴上，求的最大值． 20. 如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D． （1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）； （2）取BE中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径． 21. 如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线相交于．弦平分，交直径于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求线段长． 22. 已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； （3）如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$