精品解析：江苏省连云港市灌云县、灌南县部分学校2024-2025学年高二下学期3月学情调研测试数学试题

高二年级2024—2025学年第二学期3月份学情调研测试 数学试卷 一､单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（    ） A. 1 B. C. D. 0 3. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 4. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 5. 数字0，1，1，2可以组成不同三位数共有（ ） A. 24个 B. 12 C. 9个 D. 6个 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A. 216种 B. 240种 C. 288种 D. 384种 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面 B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 10. 在正方体中，下列结论中正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 与的夹角为 C. D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三､填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则值是_____ 13. 将个相同的红球个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有__________种（数字作答）. 14. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为____ ．（以数字作答） 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求： （1）； （2）． 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． （1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ （2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 17. 在四棱柱中，底面是菱形，且. （1）求证:平面平面 ; （2）若,求平面与平面所成角的大小. 18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面距离为，求正四棱柱的高； （3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级2024—2025学年第二学期3月份学情调研测试 数学试卷 一､单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分类计数原理求解． 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（    ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成角之间相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 3. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 其他人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：D. 4. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若不能构成空间的一个基底，则它们共面. 【详解】因为不能构成空间的一个基底，则它们共面，则， 则， ，解得，D正确. 故选：D 5. 数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ） A. 24个 B. 12 C. 9个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】分百位上为1和百位上为2两种情况列举即可. 【详解】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数， 当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数， 所以组成不同的三位数有9个. 故选：C 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 7. 在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 8. 某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A. 216种 B. 240种 C. 288种 D. 384种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中，甲和乙都没有得到冠军，说明甲和乙的排名都不是第一名，乙当然不会是最差的，说明乙不是最后一名，由此对甲乙的名次进行分析计算即可． 【详解】解：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性， 乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性， 所以6人的名次排列情况可能有种． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面 B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D． 【详解】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对； 对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对； 对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错； 对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对； 故选：ABD． 【点睛】本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题． 10. 在正方体中，下列结论中正确的是（ ） A. 四边形面积为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正方体的几何性质结合空间向量的数量积可判断各选项. 【详解】A选项：由正方体可知平面，所以，所以四边形为矩形，，A选项正确； B选项：由正方体可知，所以与的夹角即为与的夹角，又，所以，所以与的夹角为，B选项错误； C选项：由设正方体的棱长为，则，，所以成立，C选项正确； D选项：由已知得，，则，D选项错误； 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 三､填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值是_____ 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算法则，可以解得的值，计算的值得答案. 【详解】因向量，，且， 所以， 解得，所以. 故答案为：. 13. 将个相同的红球个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有__________种（数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案． 【详解】若一个盒子中放个红球，另一个盒子中放个黑球、个红球，则有种不同的方法； 若一个盒子中放个黑球，另一个盒子中放个红球、个黑球，则有种不同的方法； 若两个盒子中一个盒子放个红球，另一个盒子放个黑球，则有种不同的方法； 若两个盒子中都放个红球、个黑球，则有种方法. 故不同的放法有种． 故答案为：. 14. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为____ ．（以数字作答） 【答案】288. 【解析】 【详解】解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节， ∴先排数学课有种排法， 再排最后一节有种排法， 剩余的有种排法， ∴根据分步计数原理知 共有=288种排法. 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求： （1）； （2）． 【答案】（1）23 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，利用向量的线性运算，用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律求解. （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【小问1详解】 依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图： ， ， 由，则， 由，则， ，， . 【小问2详解】 由（1）知， 因此 ， 所以. 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． （1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ （2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】（1）72 （2）36 【解析】 【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解； （2）分乙站排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解. 【小问1详解】 先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． 【小问2详解】 若乙站在排头或排尾，则有种站法； 若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 17. 在四棱柱中，底面是菱形，且. （1）求证:平面平面 ; （2）若,求平面与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形及正三角形的性质证得线面垂直，再利用面面垂直的判定推理得证. （2）结合（1）证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱柱中，底面是菱形， 由，得和均为正三角形， 于是，令与的交点为，则，又， 而平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由及，得，，则， ，，于是， 由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 平面的法向量为，设平面设平与平面所成角为， 则，则， 所以平面与平面所成角的大小为. 18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角形性质以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得结论； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果； 方法二：根据二面角定义作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值； （3）方法一：设，利用线面角的向量表示计算可得当时，满足题意； 方法二：根据题意作出直线与平面所成角的平面角，计算可知当时，满足题意. 【小问1详解】 在图1的等腰直角中，为的中点，则， 所以在图2中，有，， 又，平面，所以平面， 又平面，可得； 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为正三角形，因为为的中点，所以， 又平面， 可得平面，又平面 所以． 【小问2详解】 方法一： 以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内过点作垂直于轴 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 可得平面的一个法向量为， 所以， 即二面角的余弦值为． 方法二： 作于，于，连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 平面，故, 因为，平面MNH，故平面MNH， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，所以，． 在中，，，所以， 所以， 可得． 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 方法一： 易知，， 设，则， 平面一个法向量为． 依题意可得， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 方法二： 作于，如下图所示： 由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 在中，由余弦定理可得， 所以． 设，则，， 所以，解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； （3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. （3）设，则根据夹角公式可得关于的方程，利用换元法可求的取值范围. 【小问1详解】 证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故， 点到平面的距离为：， 解得， 故正四棱柱的高为； 【小问3详解】 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，则， 则， 故，设， 则， 故，设， 则在上有解； 因为的对称轴为， 故，故， 故，所以，故， 故线段的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$