精品解析：山东省日照天立高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

日照天立高中2025学年3月考试 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 命题：孙元杰 审核：高二数学组 一､单选题（每小题5分） 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 3. 等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，是方程两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 若等比数列的前项和，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，漏选3分） 9. 为等比数列的前三项，则的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10. 等差数列中，公差d，为其前n项和，，则（ ） A. B. C. D. 最大值为30 11. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 三､填空题（每小题5分） 12. 已知为等比数列的前项和，且，则的值为__________． 13. 已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则公比______． 14. 已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（共77分） 15. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 （3）求数列的前16项的和. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足求数列的前20项的和. 18. 已知数列满足：，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 日照天立高中2025学年3月考试 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 命题：孙元杰 审核：高二数学组 一､单选题（每小题5分） 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式和下标和性质即可得到答案. 详解】. 故选：A. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 4. 已知在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式求解即可得答案. 【详解】因为是等比数列，所以，所以, 所以，解得， 故选：A. 5. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的下标和性质结合根与系数的关系即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为，因为，是方程的根， 所以，， 又，同号，所以，，则， 所以． 故选：B. 6. 若等比数列的前项和，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得，由此即可求出. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，， 所以该等比数列的公比, 所以，解得. 故选：A. 7. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系求数列的前几项，归纳可得数列的周期为，结合周期性求结论. 【详解】因为，， 所以，， ，，…， 可得该数列的周期为，故． 故选：B. 8. 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的关系求得数列的通项公式，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，，当时，， 当时，适合上式，所以的通项公式为， 所以， 当为偶数时， 所以， 当为奇数时， 所以， 又因为不等式恒成立，所以，所以， 所以实数的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，坐而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 二､多选题（每小题6分，漏选3分） 9. 为等比数列的前三项，则的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得. 【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或. 故选：AC 10. 等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为30 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，即可判断. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.，故C错误； D.因为数列的公差为，所以数列单调递减，且，所以的最大值为，故D正确. 故选：AD 11. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 三､填空题（每小题5分） 12. 已知为等比数列的前项和，且，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由已知可得，可求得. 【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 13. 已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则公比______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义以及等比数列的定义，建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 由，，则， 整理可得，分解因式可得， 解得或（舍去）. 故答案：. 14. 已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法得到不等式，最后利用二次函数性质求解参数范围即可. 【详解】数列中，得 当时，得 累加得， 可得，则， 当时符合上式，则， 所以， 对于任意的，不等式， 即恒成立，∴， 设， 可得，即有，解得或， 则实数t的取值范围是． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 不等式转化中的遗漏：在转化不等式时，要小心考虑每个步骤，特别是在累加时，避免出现漏项. 解不等式时的根的判断：在解二次不等式时，必须仔细判断根的符号，确保的取值范围正确. 四､解答题（共77分） 15. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 （3）求数列的前16项的和. 【答案】（1） （2） （3）160 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式， （2）把（1）的结论代入等差数列的求和公式求解即可； （3）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 【小问3详解】 由， 所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）先求出；再利用错位相减法求和即可得出结果. 【小问1详解】 设等差数列是公差为，且， . ，， 又成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 【小问2详解】 由（1）得， 则. 又， 则. 又， ①， ②， ①-②得：， 所以． 17. 设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足求数列的前20项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用递推关系和构造新数列的方法，求出数列是等比数列； （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和． 【小问1详解】 数列的前项和为，已知，①， 当时，，解得， 故，②， ②-①得：， 即， 故， 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得：， 整理得. 数列满足 故且， 当为偶数时，， 整理得， 故 18. 已知数列满足：，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）构造数列，判断为等比数列，可求数列的通项公式；根据与的关系求的通项公式. （2）利用裂项求和法求出，再结合大于的最大值可求实数的取值范围. 【小问1详解】 对：由，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. 对：前项和为. 当时，； 当时，， 时，上式亦成立. 所以. 小问2详解】 因为. 所以. 由已知或. 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 【答案】（1） （2）存在；或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可； （3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 两式相减得，即． 累乘得． 经检验也符合上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即， 显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18， 当，即时，， 当，即时，． 所以，存正整数，使得成等差数列， 此时或． 【小问3详解】 由题意知，， 当时，，不等式成立． 当，因为 ， 所以 ． 因为，所以， 所以时，， 综上，． 【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$