精品解析：广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题(B卷)

惠州市综合高级中学2024-2025学年第二学期高二年级3月月考 数学科试题（B卷） 命题人：严文豪 审题人：孙晓兵 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 2. 若函数的导函数存在，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 3. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到在时的导数值，即可得到答案. 【详解】由函数，可得，则，即该质点的瞬时速度为. 故选：A. 4. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据代入计算即可. 【详解】. 故选：C. 5. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，列出关于p的式子，即可求得结果. 【详解】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2. 故选：B 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 8. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案. 【详解】构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， 即 ， 即 . 同理， ， 即 . 故选 ： A. 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域与函数的值域相同 C. D. 对任意实数x，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】由狄利克雷函数定义逐项判断即可； 【详解】对于A，根据狄利克雷函数定义可知，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为， 当时，；当时，； 即函数的值域为，所以B正确； 对于C，若，则，则， 若，则，则，综上可得：，故C错误； 对于D，当时，， 此时； 当时，，此时，所以D正确． 故选：ABD 三、填空题（每题 5分） 12. 若是首项为2，公差为3的等差数列，则 _______. 【答案】11 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为：11 13. 曲线过点的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 14. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再探讨并求出极值点，列式求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16. 如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为平面，平面，所以. 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理证明平面，继而即可证得； （2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，. 设平面的法向量是， 则，取，可得， 易得是平面ABCD的一个法向量， 则， 故平面PBQ与平面ABCD夹角的余弦值为. 17. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 【答案】（1） （2），证明如下： 因为，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则由题意得： 即 解得 故， 故 【小问2详解】 ， . 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有两个零点，求实数的值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间； （2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值． 【小问1详解】 因为， 所以， 令，则或， 所以的单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）得的单调递增区间为和. 令可得，的单调递减区间为， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 所以若有两个零点，则或， 解得. 所以. 19. 已知抛物线E：的焦点为F，过F作倾斜角为的动直线l交E于A，B两点．当时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（O为坐标原点），并求出该定值． 【答案】（1） （2）证明见解析，定值． 【解析】 【分析】（1）设直线l：，，，联立直线与抛物线的方程，由弦长公式可得弦长的值，由此可得的值，进而求出抛物线的方程. （2）由（1）可知，，，代入，可得答案. 【小问1详解】 抛物线E：的焦点， 依题意，直线l的斜率不为0，设直线l：，，， 由消去x得：， 显然，，， ， 当时，，于是，解得， 所以抛物线E的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 因此对任意的实数t，为定值， 所以无论如何变化，是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市综合高级中学2024-2025学年第二学期高二年级3月月考 数学科试题（B卷） 命题人：严文豪 审题人：孙晓兵 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的导函数存在，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 27 5. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 11. 函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域与函数的值域相同 C. D. 对任意实数x，都有 三、填空题（每题 5分） 12. 若是首项为2，公差为3的等差数列，则 _______. 13. 曲线过点的切线方程为__________. 14. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有两个零点，求实数的值． 19. 已知抛物线E：的焦点为F，过F作倾斜角为的动直线l交E于A，B两点．当时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（O为坐标原点），并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $