精品解析：河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试题

名校学术联盟•高考模拟信息卷＆冲刺卷 数学（六） 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，若为实数，则（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数为实数计算得出，再计算求出模长即可. 【详解】因为复数为实数， 则，即得， 则. 故选：B. 2. 设集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得集合，再由子集的运算求出结果即可； 【详解】由题可知， 由，可得， 所以． 故选：A. 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期. 【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得 ， 所以的最小正周期为． 故选：C 4. 过原点且与曲线相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 5. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合对数函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由在上单调递增，则值域为， 由对称轴为， 当时，开口向上，则，显然成立； 当时，在上单调递增，且，显然成立； 当时，开口向下，则，则； 综上，. 故选：D 6. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ） A. ±1 B. C. D. ±2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可 【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况． 如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H． 设，，则． 而，所以， l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则， 可求得，可求得l斜率为， 同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 故选：D 7. 已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l，则可得底面半径，再由侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，则，构造函数，利用导数可求出其最大值，从而可求出. 【详解】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径， 侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长， 因此，，． 记，，则， 因为在上递减，且，， 所以存在唯一的满足，即， 且当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 故是的极大值点，也是最大值点． 此时． 故选：D 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将目标式化为，令，得到线性关系式为，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为，由及二次函数的性质求最大值，注意取值条件，即可得答案. 【详解】由 ①， 令，，则①式， 所以的最大值为 ，， 所以，令， 当，即时，， 此时①式，即， 综上，，时目标式取最大值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将目标式化为得到线性关系式为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若的焦点在轴上，则 C. 若，则的焦距为6 D. 若，则的离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆求参数范围，再结合其它各项椭圆性质求参数范围、焦距、离心率，即可判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 若的焦点在轴上，则，可得，B错； 若，则的焦距为，C对； 若，则的离心率为，D对. 故选：CD 10. 已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（ ） A. 97200的素因数为2，3，5 B. 97200不同的正因数有96个 C. 在小于30的非负偶数中有3个完全数 D. 在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题干各概念的定义判断A、B、C，应用组合数和对立事件的概率求法求概率判断D. 【详解】由，即97200的素因数为2，3，5，A对； 由题设，97200不同的正因数有个，B错； 由，，，，，，， ，，，，， ，，， 综上，只有是完全数，共2个，C错； 由C分析知，15个数中有2个完全数，故随机选两个数中至少有一个完全数的概率为，D对. 故选：AD 11. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，．记的轨迹分别为，，且与所封闭的面积分别为，则（ ） A. 为圆 B. 最大值的最小值为 C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项由圆的定义可知；B项由条件，及，用表示，并依次构造函数求最值可得；C项，用表示出，利用常用不等式放缩比较大小；D项，表示，构造函数求最值可得. 【详解】A项，点到定点的距离为定值， 为以为圆心，为半径的圆，故A正确； B项，由A项，可设， 又，可设， 则， 由，得， ，则， ，当时，等号成立，故的最大值为. 记 则，令得， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以，最大值的最小值为，故B正确； C项，由， 可知在以为圆心，为内径，为外径的圆环上，即轨迹为， 则. 设，则， 故在上单调递增，则， 即，则，由， 则，故C错误； D项，由题意可得，则， 设，则， 令，解得， 则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ，所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是用分别表示所求，；二是构造函数，应用导数求最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则正数______． 【答案】2 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程求即可. 【详解】由题设，又， 所以，可得， 又，故. 故答案为：2 13. 记为正项数列的前项和，，为等比数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有，结合等比数列的通项公式得，进而有，最后由求值. 【详解】由题设，可得，即， 又为等比数列，若公比为，则，故， 所以，则， 所以. 故答案为： 14. 已知事件A，满足，，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式和已知条件得，设，，列出关于x，y的函数式，通过导数求出最值即可. 【详解】因为，， 所以， 所以，又， ， 所以， 设，则，所以， 所以， 设由可得①，②， 所以， 令， 则， 令，得，得， 又时，， 令，解得，解得， 所以在单调递增，所以取得最大值， 所以， 当满足不等式①时，所以在单调递增，所以取得最小值， ， 当满足不等式②时，，所以在单调递增， 所以取得最小值，。 令，求导得，、 所以在单调递减，所以。 综上得的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，结合正弦定理得到，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理得，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 解：因为且，由余弦定理得，即 又因为，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 所以的面积， 即面积的最大值为． 16. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022． 计算得，，． （1）是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用折线图和相关系数加以说明； （2）是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数，． 【答案】（1） 从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系． 因为，所以该组数据的相关系数 ． ，因而可以用线性回归模型拟合与的关系． （2） 可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下： ① 2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续（1）中的线性趋势，故可以用（1）中的回归模型进行预测； ② 2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用（1）中的回归模型预测是不准确的． 【解析】 【分析】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论； （2）2023年与题设数据的年份较接近，可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，不可以预测2033年的氮氧化物排放量. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，又，分别为棱，的中点， 所以且， 又底面是矩形，即且， 所以且，即为平行四边形，故， 由平面，平面，故平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）若为的中点，且，由面面垂直的性质得到面，则为直线与底面所成角，并构建合适的空间直角坐标系，设，，应用向量法求面面角余弦值，结合已知列方程求参数，进而应用几何法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记为的中点，作，因为是正三角形，所以， 面面，面面，面， 所以面，则为直线与底面所成角， 易知面，面，则， 所以可构建如图示的空间直角坐标系，设，， 则，，，，， 所以，，， 若分别为面、面的一个法向量，则 ，取，则， ，取，则， 由二面角为，则，所以或， 当时，， 所以为等边三角形，且，， 所以，即，， 所以二面角为，故不合题设，即（经验证满足题设）， 故. 18. （1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为； （2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点． 【答案】 （1）若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为，联立， 所以，则， 所以， 整理得， 因为点在双曲线上，所以， 所以，则， 所以，则， 由，则，即， 所以，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证； （2）； （3）由（2）双曲线为，若，则， 所以过点作直线的垂线为，即， 令，则，即，令，则，即， 联立，可得，同理， 综上，、的中点坐标均为，即是点，所以四点共圆， 易知圆的方程为，显然原点恒在圆上，得证. 【解析】 【分析】（1）讨论切线的斜率并设切线，联立双曲线，根据相切关系有判别式为0求得，代入直线方程化简整理即可证； （2）设，与双曲线的切点为，则切线方程为，联立渐近线求坐标，结合三角形面积求得，即可得双曲线方程； （3）若，则，过点作直线的垂线为，进而依次求出的坐标，并确定为、的中点，即可证共圆，写出圆的方程易得所过的定点. 【详解】（1）略 （2）由题意，设，其焦点坐标为， 设与双曲线的切点为，则切线方程为， 联立，可得，即，同理， 所以，，则， 而，故，即所求等轴双曲线的方程； （3）略 19. 对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． （1）若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； （2）若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； （3）能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 【答案】（1）， （2）证明：采用数学归纳法证明， 当时，，显然存在， 假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得， 当时，设是满足的最大正整数，则， 因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾）， 且由归纳假设可以表示成的形式， 其中互不相邻且与也不相邻（因为， 所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和； 再证明唯一性：假设， 不妨设， 设， 根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定， 从最大项开始分析，若，不妨设，则， 因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以， 去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且； （3）能，理由：首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合， 根据－数列的递推公式， 则，，， ,， 以此类推可得， 然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推， 则是以4为首项的数列构成的集合，即， 再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,， 那么是以7为首项的数列构成的集合，即， 按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有， 因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列， 综上，能将正整数集拆成若干个集合（可以是无穷个集合），使得对于任意，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是－数列. 【解析】 【分析】（1）已知数列的递推公式以及数列的前两项和的值，直接将的值依次代入递推公式，通过前两项的值计算出后续项的值即可； （2）首先进行存在性证明，采用数学归纳法，先验证时的基础情况，然后假设时命题成立，对于，通过找到满足的最大正整数，将拆分为与的和，再利用归纳假设说明能表示成若干个的和，从而得出也能表示成若干个互不相邻互不相同的的和，完成归纳递推.然后进行唯一性证明，从假设的两种不同表示形式中最大的项入手，利用数列单调递增且增长速度的特点（即较大项大于前面若干项的和），通过反证法，若最大项不相等会推出矛盾，然后依次去掉最大项继续比较，从而证明表示形式的唯一性. （3）考虑将正整数集进行划分，构造多个集合.根据数列的定义，从一些较小的正整数开始，按照一定的规律，如先确定每个集合的前两项，再根据递推公式生成后续项，分别构建不同的－数列，使得这些数列所对应的集合两两交集为空，且它们的并集能够覆盖整个正整数集. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校学术联盟•高考模拟信息卷＆冲刺卷 数学（六） 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，若为实数，则（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 2. 设集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 过原点且与曲线相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ） A. ±1 B. C. D. ±2 7. 已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若的焦点在轴上，则 C. 若，则的焦距为6 D. 若，则的离心率为 10. 已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（ ） A. 97200的素因数为2，3，5 B. 97200不同的正因数有96个 C. 在小于30的非负偶数中有3个完全数 D. 在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为 11. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，．记的轨迹分别为，，且与所封闭的面积分别为，则（ ） A. 为圆 B. 最大值的最小值为 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则正数______． 13. 记为正项数列的前项和，，为等比数列，则______． 14. 已知事件A，满足，，，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 16. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022． 计算得，，． （1）是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用折线图和相关系数加以说明； （2）是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数，． 17. 如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值． 18. （1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为； （2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点． 19. 对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． （1）若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； （2）若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； （3）能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $