第一章直角三角形的边角关系2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学数学9年级下第一章直角三角形的边角关系 一．选择题（共10小题） 1．若将△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（　　） A．保持不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．不能确定 2．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝6，BC＝8，则tanα的值等于（　　） A．2：3 B．3：4 C．4：3 D．3：2 3．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC长是（　　） A． B．2 C．3 D． 4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． （第3题） 5．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　） A．10米 B．10米 C．20米 D．米 （第2题） （第4题） （第5题） （第7题） 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均 在格点上，若点E是BC的中点，则sin∠CAE的值为（　　） A．2 B． C． D． 8．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中， （第8题） AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线 段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（　　） A．2 B．2 C．1 D． 9．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'， 若AC＝1，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． （第9题） 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交AC于 点D，交AB于点N，连接BD，若CD＝6，AD＝10，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） （第10题） 11．如图，为了测量河对岸的旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进5米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度是 　米． 12．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝　 　． 13．世纪中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，则建筑物C到公路AB的距离为　 　． 14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形 的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝　 　． 15．如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是 （0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是　 　． （第15题） 16、在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是 　 　． （第11题） （第12题） （第13题） （第14题） 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 18．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i＝1：是指坡面的 铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝 的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字．参考数据：1.732，1.414） （第18题） 19．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点 ，BC＝14，AD＝12，sinB．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值． 20．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，， BF为AD边上的中线．求tan∠FBD的值． 21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长． 22．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇． （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 23．阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB，sinC，即AD＝csinB， AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，， 所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝60，则AB＝　 　； （2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB．（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 24．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF． （1）求证：△DEC∽△FDC； （2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及FC的长度． 25．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长 线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值． 北师大版数学9年级下第一章直角三角形的边角关系 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A D D B B B 一．选择题（共10小题） 1．若将△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（　　） A．保持不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．不能确定 【分析】根据相似三角形的判定和性质、正弦的定义判断即可． 【解答】解：把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍， 则所得的三角形与原三角形相似， 故锐角A的大小不变， ∴锐角A的正弦函数值不变， 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键． 2．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝6，BC＝8，则tanα的值等于（　　） A．2：3 B．3：4 C．4：3 D．3：2 【分析】过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F，根据同角的余角相等求出∠α＝∠DCF，利用两角对应相等的两三角形相似证明△BEC∽△CFD，再由相似三角形对应边成比例可得BEh，然后在Rt△BCE中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F． 在矩形ABCD中，∠BCD＝90°， ∵∠α+∠BCE＝90°，∠BCE+∠DCF＝180°﹣90°＝90°， ∴∠α＝∠DCF， 又∵∠BEC＝∠CFD＝90°， ∴△BEC∽△CFD， ∴，即， ∴BEh． 在Rt△BCE中，∵∠BEC＝90°， ∴tanα． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线，构造出相似三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是（　　） A． B．2 C．3 D． 【分析】设CD＝x，在Rt△ACD中，根据∠DAC＝30°的正切可用含x的式子表示出AC；在Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x，即可求出AC，注意x的实际意义． 【解答】解：设CD＝x，则ACx． ∵AC2+（CD+BD）2＝AB2，AC2+BC2＝AB2， ∴（2）2＝（x）2+（x+2）2． ∴x＝1，x＝﹣2（舍去）， ∴x＝1， ∴AC． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理和锐角三角函数的概念求解是解题关键． 4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据余弦函数等邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得 AC2， cosC， 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　） A．10米 B．10米 C．20米 D．米 【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD＝BD﹣BC＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°， ∴tan30° ∴BDAB ∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°， ∴BCAB ∵CD＝20 ∴CD＝BD﹣BCABAB＝20 解得：AB＝10． 故选：A． 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【解答】解：∵， ∴可设BC＝3x，AB＝5x， ∴， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边． 7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若点E是BC的中点，则sin∠CAE的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】如图，由于在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的边长可以利用勾股定理求出，然后利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：依题意得 AB， AC2 BC5， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵E为BC的中点， ∴AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ECA， ∴sin∠CAE＝sin∠ECA． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形求出三角形的边长，然后利用勾股定理及其逆定理和三角函数即可解决问题． 8．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（　　） A．2 B．2 C．1 D． 【分析】在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，由CB+BD求出CD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出所求即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝BD＝2k，∠BAD＝∠BDA＝15°，BCk， ∴∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝75°， 在Rt△ACD中，CD＝CB+BDk+2k， 则tan75°＝tan∠CAD2， 故选：B． 【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 9．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，若AC＝1，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：如图，设B′C′与AB交点为D， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到， ∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1， ∴∠C′AD＝∠BAC﹣∠CAC′＝45°﹣15°＝30°， ∵AD＝2C′D， ∴AD2＝AC′2+C′D2， 即（2C′D）2＝12+C′D2， 解得C′D， 故阴影部分的面积1． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N，连接BD，若CD＝6，AD＝10，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂直平分线的性质得出BD＝AD，再利用勾股定理求出BC的长，再利用正切的定义即可求解． 【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N， ∴BD＝AD＝10， ∵∠C＝90°，CD＝6， ∴BC8，AC＝AD+CD＝10+6＝16， ∴tanA． 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出BD＝AD＝10，进而利用勾股定理求出BC的长是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，为了测量河对岸的旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进5米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度是　　米． 【分析】利用AB表示出BC，BD．让BC减去BD等于5即可求得AB长． 【解答】解：设AB＝x． ∴BC＝AB÷tan∠ACBx，BD＝AB÷tan∠ADB＝x． ∴CD＝BC﹣BD＝（1）x＝5． 解可得：x． 故答案为：． 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 12．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝　5　． 【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB， ∴sinB，tanB． ∵在Rt△ABD中AD＝4， ∴AB． 在Rt△ABC中， ∵tanB， ∴AC5． 【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 13．世纪中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，则建筑物C到公路AB的距离为　500（1）m　． 【分析】作CD⊥AB于D，构造出Rt△ACD与Rt△BCD，求出AB的长度．根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系，利用特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：作CD⊥AB于D． 设AD＝x，则BD＝50×20﹣x＝1000﹣x． ∵∠EAC＝60°， ∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°． 在Rt△BCD中， ∵∠FBC＝45°， ∴∠CBD＝∠BCD＝45°， ∴CD＝DB＝1000﹣x． 在Rt△ACD中， ∵∠CAB＝30°， ∴CD＝tan30°•AD， 即DB＝CD＝tan30°•AD＝1000﹣xx， 解得：x＝500（3）， 故CD＝500（3）500（1）m． 故答案为：500（1）m． 【点评】此题考查了直角三角形的应用，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答． 14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝　2　． 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形BCEK是正方形， ∴KF＝CFCK，BFBE，CK＝BE，BE⊥CK， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO＝BK：AC＝1：3， ∴KO：KF＝1：2， ∴KO＝OFCFBF， 在Rt△OBF中，tan∠BOF2， ∵∠AOD＝∠BOF， ∴tan∠AOD＝2． 解法二：连接BE，AE，如图所示． ∵点B为CF的中点，点E为DF的中点， ∴BE∥CD， ∴∠AOD＝∠ABE． 在△ABE中，AB，AE＝2，BE， ∵AB2＝AE2+BE2， ∴∠AEB＝90°， ∴tan∠AOD＝tan∠ABE2． 故答案为：2 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 15．如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是　　． 【分析】根据三角形内心的特点知∠ABO＝∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB＝OC，∠OBC＝45°，∠ABC＝90°可知△ABC为直角三角形，BC＝2，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB，即可得出答案． 【解答】解：根据三角形内心的特点知∠ABO＝∠CBO， ∵已知点C、点B的坐标， ∴OB＝OC，∠OBC＝45°，∠ABC＝90°可知△ABC为直角三角形，BC＝2， ∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x，x﹣1）， 根据两点距离公式可得： AB2＝x2， AC2＝（x﹣2）2， 在Rt△ABC中， AB2+BC2＝AC2， 解得：x＝﹣6，y＝﹣4， ∴AB＝6， ∴tanA． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式、勾股定理，综合性较强，难度较大． 16．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是 　　． 【分析】延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，如图，由∠BAC＝120°，可算出∠DAC的度数，在Rt△ADC中，可算出∠ACD＝30°，AC＝2，根据30°所对直角边是斜边的一半可得AD的长度，根据勾股定理可得CD的长度，在Rt△BCD中，可计算BD＝AB+AD的长度，根据勾股定理即可算出BC的长度，根据三角函数的定义sinB，即可算出答案． 【解答】解：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，如图， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝180°﹣∠CAD＝180°﹣120°＝60°， 在Rt△ADC中， ∵∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，AC＝2， ∴， ∴CD， 在Rt△BCD中， ∵BD＝AB+AD＝4+1＝5， ∴BC， ∴sinB． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形及勾股定理的计算方法进行计算，正确添加适当的辅助线构造直角三角形是解决本题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值；然后根据实数运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝﹣1﹣8+1+|38| ＝﹣8． 【点评】本题综合考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及实数运算． 18．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i＝1：是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字．参考数据：1.732，1.414） 【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，利用三角函数求得BF、AF、EC的长，从而求得下底BC的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F． 在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6， ∴AF＝ABsin∠B ＝6sin60° ＝3． BF＝ABcos∠B ＝6cos60° ＝3． ∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC， ∴四边形AFED是矩形， ∴DE＝AF＝3，FE＝AD＝4． 在Rt△CDE中，i， ∴ECED39， ∴BC＝BF+FE+EC＝3+4+9＝16． ∴S梯形ABCD（AD+BC）•DE （4+16）×3 ≈52.0． 答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0面积单位． 【点评】此题主要考查了学生对坡度坡角的理解，三角函数的运用及梯形面积公式的掌握情况． 19．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB． 求：（1）线段DC的长； （2）tan∠EDC的值． 【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C＝∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值． 【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△， 在Rt△ABD中， ∵sinB，AD＝12， ∴， ∴AB＝15， ∴BD， 又∵BC＝14， ∴CD＝BC﹣BD＝5； （2）在Rt△ACD中， ∵E为斜边AC的中点， ∴ED＝ECAC， ∴∠C＝∠EDC， ∴tan∠EDC＝tanC． 【点评】此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”等知识点． 20．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，，BF为AD边上的中线．求tan∠FBD的值． 【分析】连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF＝FD，由勾股定理可得，EF＝2，即可求tan∠FBD． 【解答】解：∵AC⊥BD，，BC＝8， ∴AB＝10， 在Rt△ACB中，由勾股定理得，， 如图，连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E， ∵BF为AD边上的中线， 即F为AD的中点， ∴， 在Rt△ACD中，由勾股定理得，， ∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD， ∴， 在Rt△EFC中，， ∴． 【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，关键是勾股定理的应用． 21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长． 【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠AGB＝∠DGC′，故可得出结论； （2）由（1）可知GD＝GB，故AG+GB＝AD，设AG＝x，则GB＝8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值； （3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HDAD＝4，再根据tan∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF＝EH+HF即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠AGB＝∠DGC′， ∴∠ABG＝∠ADE， 在△ABG与△C′DG中， ∵， ∴△ABG≌△C′DG（AAS）； （2）解： ∵由（1）可知△ABG≌△C′DG， ∴GD＝GB， ∴AG+GB＝AD， 设AG＝x，则GB＝8﹣x， 在Rt△ABG中， ∵AB2+AG2＝BG2， 即62+x2＝（8﹣x）2， 解得x， ∴tan∠ABG； （3）解： ∵△AEF是△DEF翻折而成， ∴EF垂直平分AD， ∴HDAD＝4， ∴tan∠ABG＝tan∠ADE， ∴EH＝HD4， ∵EF垂直平分AD，AB⊥AD， ∴HF是△ABD的中位线， ∴HFAB6＝3， ∴EF＝EH+HF3． 【点评】本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 22．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇． （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 【分析】（1）根据方向角可以得到∠BCA＝45°，∠B＝30度，过A作AD⊥BC于点D，在直角△ACD中，根据三角函数就可求得AD的长，再在直角△ABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间； （2）求出BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度． 【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．作CG∥AE交AD于点G． ∵乙船沿东北方向前进， ∴∠HAB＝45°， ∵∠EAC＝30°， ∴∠CAH＝90°﹣30°＝60° ∴∠CAB＝60°+45°＝105°． ∵CG∥EA，∴∠GCA＝∠EAC＝30°． ∵∠FCD＝75°，∴∠BCG＝15°，∠BCA＝15°+30°＝45°， ∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠CAB＝30°． 在直角△ACD中，∠ACD＝45°，AC＝2×1530千米． AD＝AC•sin45°＝3030千米． CD＝AC•cos45°＝30千米． 在直角△ABD中，∠B＝30°． 则AB＝2AD＝60千米． 则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15﹣2＝2小时； （2）BC＝CD+BD＝（30+30）千米． 则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+30）÷2＝（15+15）千米/小时． 答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时（15+15）千米． 【点评】一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算，正确作辅助线是解决本题的关键． 23．阅读下面材料： 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB，sinC，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． （1）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝60，则AB＝　20　； （2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB． （3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 【分析】（1）由题意得到∠B＝75°，∠C＝45°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝60°，根据正弦定理即可得到结论； （2）由题意得到∠ACB＝60°，∠ABC＝75°，BC＝6030海里，根据正弦定理即可得到结论； （3）如图，过B作BD⊥AC于D，解直角三角形得到AC＝AD+CD＝15+15，根据正弦定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠B＝75°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝60°， ∵， ∴， ∴AB＝20， 故答案为：20； （2）由题意得，∠ACB＝60°，∠ABC＝75°，BC＝6030海里， ∴∠BAC＝45°， ∵， ∴， ∴AB＝15， 答货轮距灯塔A的距离AB＝15； （3）如图，过B作BD⊥AC于D， ∵∠ACB＝60°，BC＝30， ∴CDBC＝15，BD＝15， ∵∠CAB＝45°， ∴AD＝BD＝15， ∴AC＝AD+CD＝15+15， ∵， ∴， ∴sin75°． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键． 24．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF． （1）求证：△DEC∽△FDC； （2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及FC的长度． 【分析】（1）根据题意可得∠DEC＝∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定； （2）根据F为AD的中点，可得FB＝FC，根据AD∥BC，可得FE：EC＝FD：BC＝1：2，再由sin∠FBD＝EF：BF＝EF：FC，即可得出答案，设EF＝x，则EC＝2x，利用（1）的结论求出x，进而可求出CF的长． 【解答】解：（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，CF⊥BD， ∵∠DEC＝∠FDC＝90°，∠DCE＝∠FCD， ∴△DEC∽△FDC； （2）∵F为AD的中点，AD∥BC， ∴FE：EC＝FD：BC＝1：2，FB＝FC， ∴FE：FC＝1：3， ∴sin∠FBD＝EF：BF＝EF：FC＝1：3， 设EF＝x，则FC＝3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴，即可得：6x2＝12， 解得：x， ∴CF＝3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例． 25．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值． 【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角； （2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH＝AB•sin45°＝7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAF＝∠F． ∵∠F＝45°， ∴∠DAE＝45°． ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠EAB＝∠DAE＝45°． ∴∠DAB＝90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°． ∵AB＝14，DE＝8， ∴CE＝6． 在Rt△ADE中，∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝∠DAE＝45°． ∴AD＝DE＝8． ∴BC＝8． 在Rt△BCE中，由勾股定理得． 在Rt△AHB中，∠HAB＝45°， ∴BH＝AB•sin45°＝7． ∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°， ∴sin∠AEB． 【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．注意：本题中辅助线的作法，通过构建直角三角形，通过勾股定理求得有关线段的长度，然后通过解直角三角形来求锐角三角函数值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/14 23:20:13；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$