精品解析：浙江省杭州市拱墅区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷

2024学年第一学期期末教学质量调研 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 南昌市春季某日的最高气温是，最低气温是，则南昌当日气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 3. 木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为和，第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形是全等三角形 B. 一个角等于的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段所在直线的函数表达式为，正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 9. 如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 10. 已知在中，，，则是__________（“锐角或直角或钝角”）三角形． 11. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移______个单位． 12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为18，则的长为______． 13. 某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______ 14. 已知函数，．若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为______． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则______． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，点，点分别在边，上，满足，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点与点关于轴对称． （1）画出点的位置，并求点的坐标． （2）连接，，，求的面积． （3）将点向右平移个单位得到点，连接，若，请你直接写出的值． 19. 如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 20. 某日上午，甲、乙两车先后从地出发沿同一条公路匀速前往地（此公路全程速度限定为不超过），地与地的距离为．甲车在上午7点离开地，以的速度向地匀速行驶（途中不停靠）．设甲车行驶的时间为，行驶路程为． （1）写出关于的函数表达式，并求出甲车到地所需的时间． （2）已知乙车在当天上午8点出发，以的速度向地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲、乙两车谁先到达地，并说明理由． 21. 综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． （1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由． （2）方方说：“若，则．”请你证明结论． （3）小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数． 22. 在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上． （1）若，求的值． （2）若，求的取值范围． （3）设函数，若，当时，求的取值范围． 23. 如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． （1）若，求的度数． （2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． （3）探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末教学质量调研 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案． 【详解】第二象限内点横坐标为负，纵坐标为正，故点（−3，2）所在的象限在第二象限． 故选B． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 2. 南昌市春季某日的最高气温是，最低气温是，则南昌当日气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：D． 3. 木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为和，第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是根据三角形的三边关系得出范围解答．根据三角形的三边关系，则第三根木条的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和． 【详解】解：设第三根木条的长度为． 由三角形的三边关系得∶．即， 只有适合． 故选：B． 4. 一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为，为斜边，利用勾股定理可得，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边长为，为斜边， 由勾股定理得，， ∵一个直角三角形的三边长的平方和为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即斜边长为， 故选：． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形是全等三角形 B. 一个角等于的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相关性质和判定定理逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：对应角相等且对应边相等的两个三角形是全等三角形，故A选项说法错误，不合题意； 有两个角等于的三角形是等边三角形，故B选项说法错误，不合题意； 等腰三角形两腰相等，因此两腰上的高也相等，故C选项说法正确，符合题意； 等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线和高重合，故D选项说法错误，不合题意； 故选C． 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键．利用不等式的性质分别判断得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，故A成立，符合题意； ∵，， ∴，故B不一定成立，不符合题意； ∵， ∴，故C不一定成立，不符合题意； ∵， ∴，故D不一定成立，不符合题意； 故选A． 7. 如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等．先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴度数可能是． 故选：C． 8. 快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段所在直线的函数表达式为，正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，结合图象可得快车的行驶时间与慢车的速度可判断①②，由图象可得当时，两车相距千米，可得，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可. 【详解】解：快车出发（小时）后两车相遇， ∴①正确，符合题意； 慢车的速度是（千米/小时） ∴②错误，不符合题意； 当时，两车相距（千米）； ∴， 设直线为, ∴， 解得：， ∴直线为， ∴③正确，符合题意； 故选：D 9. 如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，，证明是等腰直角三角形，则，，再证明得得，则，进而得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后根据即可得出的长． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵由勾股定理得：， 在中，，是边上的高线，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∵由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 10. 已知在中，，，则是__________（“锐角或直角或钝角”）三角形． 【答案】锐角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理得出，再代入求出即可，能熟记三角形的内角和等于是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 即最大角的度数， 是锐角三角形， 故答案为：锐角． 11. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移______个单位． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为18，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而可得． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， ，的周长为18， ， ， 故答案为：12． 13. 某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过64分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 14. 已知函数，．若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解与轴的交点坐标，再结合题意画出图象，结合图象可得答案. 【详解】解：∵， 当，解得：， ∴与轴的交点为， ∵函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限， 如图， ∴时， ∴； 故答案为： 15. 如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点作于点，则，可证，得到，证明，得到，再证，得到，在中由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平分，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴，即， 整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：72 ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． （1）根据不等式的基本性质求出不等式的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可求出不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 移项得：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，， ∴， 解得， ∴原不等式组的解集为． 17. 如图，在中，，点，点分别在边，上，满足，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：因为，， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识． （1）由证得，即可得出结论； （2）先证，推出，再由，得出，，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点与点关于轴对称． （1）画出点的位置，并求点的坐标． （2）连接，，，求的面积． （3）将点向右平移个单位得到点，连接，若，请你直接写出的值． 【答案】（1）如图，点即为所求；点 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画关于轴对称的点，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质； （1）根据轴对称的性质画图，再根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案； （2）如图，连接，，，直接利用三角形的面积公式求解即可； （3）将点向右平移个单位得到点，可得，如图，记与轴的交点为，连接交轴于，与轴的交点为，记直线与的交点为，连接，，再进一步利用等腰直角三角形的性质可得结论； 【小问1详解】 解：∵，点与点关于轴对称． ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，，， ∵点，，， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：将点向右平移个单位得到点， ∴， 如图，记与轴的交点为，连接交轴于，与轴的交点为，记直线与的交点为，连接，， ∵点，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴共线， 同理可得：， ∴, 解得：； 19. 如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：因为在中，，是斜中线， 所以， 因为，， 所以，所以是等边三角形， 所以，； （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识． （1）根据直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，从而得是等边三角形，进而即可得证； （2）根据直角三角形的性质得，再利用勾股定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 所以， 由勾股定理，可得． 20. 某日上午，甲、乙两车先后从地出发沿同一条公路匀速前往地（此公路全程速度限定为不超过），地与地的距离为．甲车在上午7点离开地，以的速度向地匀速行驶（途中不停靠）．设甲车行驶的时间为，行驶路程为． （1）写出关于的函数表达式，并求出甲车到地所需的时间． （2）已知乙车在当天上午8点出发，以的速度向地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲、乙两车谁先到达地，并说明理由． 【答案】（1），甲车需要5个小时到达地； （2） 解：甲车在当天中午12点到达地， 乙车的行驶时间：小时小时， 所以乙车在中午12点前到达地， 所以乙车先到达地． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握速度，路程，时间之间的关系是解题的关键． （1）根据路程速度时间写出s关于t的函数表达式，将代入该函数解析式，列出关于t的方程并求解即可； （2）根据时间路程速度求出乙车到B地所需的时间，根据两车出发时的时间分别求出各自到达B地时的时间，从而判断甲、乙两车谁先到达B地． 【小问1详解】 解：，当时， 解得：， 所以甲车需要5个小时到达地； 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． （1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由． （2）方方说：“若，则．”请你证明结论． （3）小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数． 【答案】（1） 解：圆圆的说法正确，理由如下： 由作图可得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴圆圆的说法正确； （2） 解：如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，与角的和差运算可得结论； （2）如图1，过作于，证明，，可得，从而可得结论； （3）如图2，取的中点，连接，可得，证明，，可得，进一步解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 22. 在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上． （1）若，求的值． （2）若，求的取值范围． （3）设函数，若，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． （1）代入点的坐标即可求得； （2）把点代入直线，求出，根据的取值范围，求出的取值范围； （3）证得两直线都经过点，结合一次函数的增减性即可判断． 【小问1详解】 解：把点代入直线， 可得， 解得：． 【小问2详解】 解：把点代入直线， 可得，，即， 因为，所以， 所以． 【小问3详解】 解：因为， 所以直线图象过点， 因为当时，， 所以点也在图象上， 所以与图象的交点是， 因为，随的增大而减小，，随的增大而增大， 所以当时，． 23. 如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． （1）若，求的度数． （2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． （3）探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 设，， 如图2，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明如下： 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等边对等角可得，再由三角形外角的性质得，最后由直角三角形的性质与角的和差关系即可解答； （2）设，，如图2，延长至点F，使，连接，先证明是的垂直平分线，得，，再证明，即可解答； （3）由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $