【专项练】实数的混合运算-沪科版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 实数的混合运算 1．C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当 1 3a  时，则 2 1 1 1 21 1 3 3 a a      ， 3 1 11 2 2 3 a     ， 4 11 31 2 a     ， 5 1 21 3 3 a    ，L ，则有 na 以三个数为一组，不断循环，从而有 2025 3 1 2 a a   ，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当 1 3a  时， ∴ 2 1 1 1 21 1 3 3 a a      ， 3 1 11 2 2 3 a     ， 4 11 31 2 a     ， 5 1 21 3 3 a    ， L ， ∴ na 以三个数为一组循环， ∴2025 3 675  ， ∴ 2025 3 1 2 a a   ， ∴ 33 32025 12 2 1 1 2 a            ， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是 解题的关键． 【详解】解：由题意可得 1 1 2 2A B   ，则 2A 表示的数为 2 2 2 4 2    ， 2 4 2 3   ， 2B 表示的数为3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 2 2 1A B   ， 同理可得 3 3 2 2A B   ; 4 4 2 1A B   ； 5 5 2 2A B   ； 6 6 2 1A B   ； 7 7 2 2A B   ； 8 8 2 1A B   ， 故选：A． 3．(1)1 3 (2) 1 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：  2325 64 2 3 2         5 4 2 2 3      3 2 3   1 3  ； （2）  32024 31 11 2 278 9           1 11 8 3 8 3         1 1 1    1  ． 4．(1) 3 2 (2) 12 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质和算术 平方根的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先根据立方根与算术平方根的定义进行开方运算，再算加减即可． 【详解】（1）解： 2025 1( 1) 3 2 2 0.25 4       ， 3 11 3 2 2 2       ， 3 2  ； （2）解：原式 1 5 1 7 6 2 2 5      ， 1 7 6   ， 12  5．(1)3 3 (2) 5 1 (3) 113 4  (4)34 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方的运算，立方根，平方根的求解，化简绝对值， 熟练掌握相关运算定律为解题关键． （1）先算乘方，立方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （2）先算乘方，立方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （3）先算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （4）先算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： 2 3 311 ( 2) 27 3 2 8              11 8 3 2 38         1 1 3 2 3      3 3  ； （2） 2025 3( 1) 36 8 5 2     1 6 2 5 2      5 1  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 （3） 23 10.125 3 ( 3) 3 1 16       1 7 3 3 1 2 4       113 4   ； （4）  22025 3 11 6 64 48              211 6 8 2 2            1 3 32    34 ． 6．(1) 3 2 (2) 3 2 (3)42 (4) 7 12 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算； （2）先化简绝对值，再计算加减即可； （3）先计算括号，再计算乘除即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 93 0 4    33 0 2    3 2  ； （2）解：原式  7 2 2 2 7    7 2 2 2 7    3 2  ； （3）解：原式  4 3 1 66 6 6                 7 6 6 6    42 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （4）解：原式 64 11 1 316 9 2 6 4           9 11 316 64 12 4     9 11 3 4 12 4    27 11 9 12 12 12    7 12  ． 7．（1）2； 2 3  ；（2） 7 2 x   ；（3）8 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意列出关于 x的方程，解方程即可； （3）根据   2 1, 2 1 , 1 2n n m m       ，得出 2 1 2n m    ，求出 2 1m n   ，代入  20242 2 4 5m n m n    求出结果即可． 【详解】解：（1） 2, 3 2    ； 1 2 2, 2 3 3         ； （2） 2x x  ，  , 2 2x x x    ， 2 2 1x x    ，  2 , 2 1 2 1x x x       ， ∵    , 2 2 , 2 1 1 3 4 x x x x      ， ∴ 2 2 1 13 4 x x     ， 解得： 7 2 x   ； （3） 2 1 2 1n n     ，  2 1, 2 1 2 1n n n        ， 1m m  ，  , 1m m m   ， ∵   2 1, 2 1 , 1 2n n m m       ， ∴ 2 1 2n m    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 整理得： 2 1n m   ， 即 2 1m n   ， ∴  20242 2 4 5m n m n       20242 2 2 5m n m n        20241 2 1 5      1 2 5   8 ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是理解题意， 列出相应的方程或算式，准确计算． 8．(1) 214 (2)3 (3) 2 1 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （3）先根据算术平方根、立方根和实数的性质化简各数，再计算即可． 【详解】（1）解：    2 20253 275 4 1 64        35 2 1 4     21 4  ； （2）解：    2 235 2 27 2 1        5 4 3 2 1     3 ； （3）解： 2025 316 ( 1) 27 1 2     4 1 3 2 1     2 1  ． 9．(1)2 (2)11 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式． （1）利用两点间的距离公式求出 2 1OC AB   ，再利用两点间的距离公式求出点 C表示的 数，从而求出 p即可； （3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点 D表示的数，从而求出点 C表示的数即 可． 【详解】（1）解：由题意，得 2 1OC AB   ． 因为点 C在原点左侧， 所以点 C表示的数为 0 ( 2 1) 1 2    ， 所以 1 2 1 2 2p      ． （2）解：因为点 D在点 O的左侧，且 10DO  ， 所以点 D表示的数为 10 ， 所以若以 D为原点， 则点 C表示的数为1 2 ( 10) 1 2 10 11 2        ． 10． 26 43 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键． 根据题意列出算式求出甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间即可；按照题目要求让甲 完成四间客房的打扫卫生工作，同时乙，丙完成另外三项工作，最后一间客房的另外三项工作 由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间为： 9 7 6 4 26    （分钟）， 甲先完成第 1间客房的卫生打扫工作，然后乙完成第 1间客房的更换客用物品和检查设备，丙 完成第 1间客房整理床铺工作，完成后再等 2分钟，开始第 1间客房的更换客用物品和检查设 备，乙完成后再进行第 2间客房整理床铺工作，完成后再等 1分钟，开始第 3间客房的更换客 用物品和检查设备，丙完成第 2间客房工作后，马上再完成第 3间客房整理床铺工作，当甲完 成第四间客房打扫卫生工作后，三个人同时完成剩余的三项工作，这样所需要的时间为： 4 9 7 43   （分钟）， 即甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 43分钟． 故答案为：26；43． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 11． 9873 2415 【分析】根据“差方数”的特点，求出满足条件的M的最大值即可；先根据题意求出   1000 100 10 100 10 10 10 M d a b c d dF M a b c         ，   4 40 4 10G M ab cd a b c d       ，代入 求出     12 140 14 11 12 13 13 F M G M a b c d       ，然后根据“差方数”的特点，从最小的“差方数”开 始，依次进行验证，找出符合条件的数即可． 【详解】解：∵M abcd 是一个“差方数”， ∴要使M取最大值，则千位上的数取最大值 9，百位上的值取 8，十位上的数字取 7， 又∵ 298 73 25 5   ， ∴M的最大值是 9873； ∵ 1000 100 10a b cabcd dM    ， ∴   1000 100 10 100 1010 10 M d a b c d dF M a b c         ，   4G M ab cd      4 10 10a b c d    40 4 10a b c d    ， ∴     12 13 F M G M  100 10 40 4 10 12 13 a b c a b c d        140 14 11 12 13 a b c d     ， ∵M abcd 是一个“差方数”， ∴ab cd 的结果是一个完全平方数， ∴ ab cd ，即 a c ， 又∵各数位上数字均不相等且不为 0， ∴要使 M最小，则 a的最小值为 2， c的最小值为 1，b的最小值为 3， ∵当 4d  时， 223 14 9 3   ， ∴ 2314M  是“差方数”， 把 2a  ， 3b  ， 1c  ， 4b  代入 140 14 11 12 13 a b c d    得： 140 2 14 3 11 1 4 12 349 13 13         ，不是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 整数，不符合题意； ∵当 9d  时， 223 19 4 2   ， ∴ 2319M  “差方数”， 把 2a  ， 3b  ， 1c  ， 9b  代入 140 14 11 12 13 a b c d    得： 140 2 14 3 11 1 9 12 354 13 13         ，不是 整数，不符合题意； ∴b取最小值为 3时，没有符合题意的“差方数”； a取最小值 2， c取最小值 1，b取 4， 当 5d  时， 224 15 9 3   ， ∴ 2415M  “差方数”， 把 2a  ， 4b  ， 1c  ， 5b  代入 140 14 11 12 13 a b c d    得： 140 2 14 4 11 1 5 12 364 28 13 13          ， 是整数，符合题意； ∴M的最小值为 2415． 故答案为：9873． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题 意，用分类讨论的思想，解决问题． 12． 9564 3605 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新 定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差 3倍数”的定义表示出    1000 100 10 3 1, 1000 100 10 1 3M a b a b M b a b a            ，由 ( ) 9 M MF M   ，结合 ( )F M 为 偶数，即可解答；同理表示出 2 3 15( ) 1 c dG M c d      ，且 ( )G M 被 3除余 2，可得 13 1 d c d    是 3的倍数， 根据“差 3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意： 3, 1c a d b    ，  3 9,1 9a b a b     则        1000 100 10 3 1 101 10 31, 1000 100 10 1 3 101 10 13M a b a b a b M b a b a b a                  ， ∴         101 10 31 101 10 13 909 909 18 101 2 9 9 9 a b b aM M a bF M a b                    ， ∵ ( )F M 为偶数，且1 9,0 9,a b a b     （ ,a b为整数）， ∴      101 2 100 2a b a b a b       为偶数， ∴a b 为偶 数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ a b 为 2, 4,6,8， 当 a最大，则M有最大值， 此时， 9, 7a b  ，则 3 6, 1 6c a d b      ，不符合题意； 9, 5a b  ，则 3 6, 1 4c a d b      ，符合题意； ∴M的最大值为9564； ∵ ( )G M 被 3除余 2， ∴   2 3 15 3 4 161 11 1 c d c dG M c d c d             是 3的倍数， ∵ 3 4 16 3 3 3 13 1331 1 1 c d c d d d c d c d c d                 ， ∴ 131 d c d    是 3的倍数， ∵  3 9,1 9a b a b     （ ,a b为整数）， 3, 1c a d b    ， ∴  0 8,0 6d c c d     （ ,c d为整数）， ∴13 13 21,2 1 14d c d       ， ∴13 13 2114 1 2 d c d      ， ∴符合条件的代数式 131 d c d    的值为：9,6,3， 当 13 9 1 d c d     时， 13 18, 1 2d c d     ，即 5, 4d c   ，不符合题意，舍去； 当 13 6 1 d c d     时， 13 18, 1 3d c d     ，即 5, 3d c   ，不符合题意，舍去； 当 13 3 1 d c d     时， 13 15, 1 5d c d     ，即 2, 2d c  ，不符合题意，舍去； 或 13 18, 1 6d c d     ，即 5, 0d c  ，此时， 3 3, 1 6a c b d      ，则M的值为3605，符合题 意； ∴满足条件的“差 3倍数”为3605； 故答案为：9564，3605． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 实数的混合运算 1．已知 1a 为实数，规定运算： 2 1 11a a   ， 3 2 11a a   ， 4 3 11a a   ， 5 4 11a a   ，L ， 1 11n n a a    ， 按上述方法，当 1 3a  时， 3 20252a 的值等于（ ） A． 2 3 B． 1 2  C． 1 D．0 2．如图，通过画边长为 1的正方形，就能准确的把 2表示在数轴上点 1A处，记 1A右侧最近的 整数点为 1B ，以点 1B 为圆心， 1 1AB 为半径画半圆，交数轴于点 2A ，记 2A 右侧最近的整数点为 2B ， 以点 2B 为圆心， 2 2A B 为半径画半圆，交数轴于点 3A ，如此继续，则 8 8A B 的长为（ ） A． 2 1 B． 2 C． 2 1 D．2 2 3．计算： (1)  2325 64 2 3 2      (2)  32024 31 11 2 278 9        4．计算 (1)  2025 11 3 2 2 0.25 4       ； (2) 33 31 5 1 343 36 8 2 125      ． 5．计算： (1) 2 3 311 ( 2) 27 3 2 8         ； (2) 2025 3( 1) 36 8 5 2     ； (3) 23 10.125 3 ( 3) 3 1 16       ； (4) 2025 23 11 6 ( 64) 4 8             ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．计算： (1) 3 127 0 2 4   ； (2) 2 7 2 2 7   ； (3)  2 1 1 63 2 6                ； (4)   2 4 2 1 12 2 5 0.75 3 2 6                  ． 7．【阅读理解】若 a b ，规定符号 ,a b 表示 a，b两个数中较大的一个．规定符号  ,a b 表示 a， b两个数中较小的一个． 例如 2,1 2 ，  2,1 1 ． 【尝试应用】（1） 2, 3    _______； 1 2, 2 3        ________． 【拓展探究】（2）若    , 2 2 , 2 1 1 3 4 x x x x      ，求 x的值． 【拓广探索】（3）   2 1, 2 1 , 1 2n n m m       ．求代数式  20242 2 4 5m n m n    的值． 8．计算： (1)    2 20253 275 4 164       ； (2)    2 235 2 27 2 1        ； (3) 2025 316 ( 1) 27 1 2     ． 9．如下图，数轴上有 , ,A B C三点，表示 1和 2的点分别为 ,A B，点 B到点 A的距离与点 C到 原点 O的距离相等．设 , ,A B C三点表示的三个数之和为 p． (1)求 p的值； (2)点 D在点 O的左侧，且 10DO  ．若以 D为原点，求点 C表示的数． 10．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步 骤某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间 客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其 他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间 客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最 少需要 分钟． 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 11．一个各数位上数字均不相等且不为 0的四位自然数M abcd ，若满足ab cd 的结果是一个 完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数 5236， 252 36 16 4   ， 5236 是“差 方数”．若M abcd 是一个“差方数”，则M 的最大值是 ；若M abcd 是一个“差方数”，设   10 M dF M  ，   4G M ab cd   ，且     12 13 F M G M  是整数，则满足条件的M 的最小值 是 ． 12．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大 3，百 位数字比个位数字大 1，则称这个四位数字为“差 3倍数”．若M 是一个“差 3倍数”，M 的千位 数字记为 a，百位数字记为b，十位数字记为 c，个位数字记为d，将M 的千位数字和百位数字 交换，十位数字和个位数字交换，得M ，记 ( ) 9 M MF M   ，若 ( )F M 为偶数，则M 的最大值 为 ；若 2 3 15( ) 1 c dG M c d      ，且 ( )G M 被 3除余 2，则满足条件的“差 3倍数”M 的值 为 ．