【专项练】实数的估算与比大小-沪科版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 实数的估算与比大小 1．如图，表示实数  1 5 的点落在（ ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 2．已知 5 13a  ，且 a是整数，则 a的值是 ． 3．实数 π 3  ， 3 和 3 2  的大小关系是（ ） A． π 33 3 2      B． 3 π 3 2 3      C． 3 π3 2 3      D． π 3 3 3 2      4．若 n为整数，且 13 1n n   ，则 n  ，m是 13的小数部分，则 | 13 |n m   ． 5．请将下图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“>”连接起来． 1.5， 2.7, 10, , 5, 3   ． 6．已知 33 3 的小数部分是 3,3 3m  的小数部分是 n，则m n 的立方根是 ． 7．比较 13 3 8  与 3 8 的大小． 8．比较下列各组数的大小： (1) 35和 6； (2) 3 10和 2.3； (3)2，3， 3 20； (4)4， 15， 3 70． 9．定义：若无理数 N 的被开方数（N为正整数）满足  22 1n N n   （其中 n为正整数），则 称无理数 N 的“共同体区间”为  , 1n n  ．例如：因为 2 21 3 2  ，所以 3的“共同体区间”为  1,2 ．请 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 回答下列问题： (1) 8的“共同体区间”为________； (2)若整数 x，y满足关系式： 2 6 5 0x y    ，求  1x y  的“共同体区间”． 10．阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 π精确到小数点后第六位的人， 他给出 π的两个分数形式的近似值： 22 7 （约率）和 355 113 （密率）．同时期数学家何承天发明的 “调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 x的不足近似值和 过剩近似值分别为 b a 和 d c （即有 b dx a c   ，其中 a，b， c，d为正整数），则 b d a c   是 x的更为 精确的近似值． 例如：已知 157 22π 50 7   ，则利用一次“调日法”后可得到 π的一个更为精确的近似分数为 157 22 179 50 7 57    ；由于 179 3.1404 π 57   ，再由 179 22π 57 7   ，可以再次使用“调日法”得到 π的更为精 确的近似分数． 任务： (1)约率 22 7 是（ ） A．无理数 B．有限小数 C．整数 D．有理数 (2)已知 7 32 5 2   ，请使用两次“调日法”，求 2的近似分数． 11．小李同学探索 167的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是 167且12 167 13  ， ∴可设 167 12 x  ，其中0 1x  ，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面 积 2 212 2 12S x x   正方形 ，又∵ 167S 正方形 ，∴ 2 212 2 12 167x x    ． 由 2 1x  ，可忽略 2x ，得144 24 167x  ，得到 0.96x  ，即 167 12.96 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)写出 249的整数部分为________， 360的整数部分为________； (2)仿照上述方法，探究解答 230的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小 数） 12．新定义：若无理数 T （T为正整数）的被开方数满足 2 2( 1)n T n   （n为正整数），则称 无理数 T 的“青一区间”为 ( , 1)n n  ，同理规定无理数 T 的“青一区间”为 ( 1, )n n   ．例如：因为 2 21 2 2  ，所以 2的“青一区间”为 (1,2), 2 的“青一区间”为 ( 2, 1)  ． (1) 17 的“青一区间”为_______， 23 的“青一区间”为_______； (2)实数 ,x y满足关系式 23 2025 ( 4) 2025x y    ∣ ∣ ，求 xy的“青一区间”． 13．规定无理数 m的整数部分记为[ ]m ，小数部分记为{ }m ，例如：[ 5] 2,{ 5} 5 2   ．请根 据上面的规定解答以下两题： (1)[ 10] _______；{ 26} _______． (2)求{4 3} {4 3}   的平方根． 14．小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之 间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整 数更接近呢? 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证． (1)2.5的算术平方根在整数 1和 2之间，且 2.5与 1和 4同样接近，则 2.5的算术平方根与整 数 1和 2中的 更接近； (2)请判断 56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断 过程． (3)通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 实数的估算与比大小 1．C 【分析】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，先确定 5 的取值范围，然后求出1 5 的取值范围，再对应数轴上的每一段范围即可确定答案． 【详解】解：∵2 5 3  ， ∴ 3 5 2     ， ∴ 2 1 5 1     ， ∴表示  1 5 的点落在段②． 故选：C． 2．3 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据 2 5 3  ， 3 13 4  ，可得2 4a  ，再由 a是整数，即可得到答案． 【详解】解：∵ 2 22 5 3  ， 2 23 13 4  ， ∴2 5 3  ， 3 13 4  ， ∵ 5 13a  ， ∴2 4a  ，且 a是整数， ∴ 3a  ， 故答案为：3． 3．C 【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出 1 05 3 π . ， 3 1.732 ， 即可得到 33 2 3    ，进而得到 3 π3 2 3      ． 【详解】解：∵ 3.14  ， ∴ 1 05 3 π . ， ∵ 3 1.732 ， ∴ 33 2 3    ， ∴ 3 π3 2 3      ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选：C 4． 3 0 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到 13的整数部分 3n  ，小数部分 13 3m   ，代入 | 13 |n m  求值即可． 【详解】解：∵9 13 16  ， 3 13 4   ， 13 的整数部分 3n  ，小数部分 13 3m   ，      | 13 | | 3 13 | 13 3 13 3 13 3 0n m           ， 故答案为：3，0 5．点 : 10A  ；点 : 2.7E  ；点 : 3B  ；点 :1.5D ；点 : 5F ；点 :C  ． 5 1.5 3 2.7 10         ． 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算，结合数轴，判断出各点表 示的数，再根据数轴上的点右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：∵1 1.5 2, 3 2.7 2, 9 10 16,3 4, 4 5 9,1 3 4               ， ∴3 10 4, 2 5 3,1 3 2      ， ∴ 4 10 3,2 5 3, 2 3 1            ， 由图可知：点 : 10A  ；点 : 2.7E  ；点 : 3B  ；点 :1.5D ；点 : 5F ；点 :C  ， 5 1.5 3 2.7 10         ． 6．1 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得m，n的值后代入m n 中，再根据立 方根的定义求解即可． 【详解】解： 1 3 31 3 8  ， 31 3 2   ， ∴ 34 3 3 5   ， ∴ 33 3 的小数部分 3 33 3 4 3 1m      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∵ 32 3 1     ， ∴ 31 3 3 2   ， ∴ 33 3 的小数部分 3 33 3 1 2 3n      ， ∴    3 33 1 2 3 1m n      ， ∴m n 的立方根是 3 1 1 ． 故答案为：1． 7． 13 3 3 8 8   【分析】本题考查平方根、立方根、实数的运算及比较大小，根据3 13 4  进行比较，熟练 掌握并灵活运用它们是本题的关键． 【详解】解：因为3 13 4  ，所以0 13 3 1   ， 所以 13 3 10 8 8    ． 因为1 3 2  ，所以 1 3 1 8 8 4   ，所以 13 3 3 8 8   ． 8．(1) 35 6 (2) 3 10 2.3 (3) 32 20 3  (4) 315 4 70  【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键． （1）根据算术平方根的定义，进而即可求解； （2）根据立方根的定义，进而即可求解； （3）根据立方根的定义可得 3 3 332 8,3 27, ( 20) 20   ，比较即可获得答案； （4）结合算术平方根和立方根的定义，首先比较 4与 15的大小，再比较 4与 3 70的大小，即 可获得答案． 【详解】（1）解： 2 2( 35) 35,6 36  ， 35 6  ； （2）解： 3 33( 10) 10, 2.3 12.167  ， 3 10 2.3  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 （3）解： 3 3 332 8,3 27,( 20) 20   ， 32 20 3   ； （4）解： 2 24 16, ( 15) 15  ， 4 15  ， 3 334 64, ( 70) 70  ， 34 70  ， 315 4 70   ． 9．(1)  2,3 (2)  4,5 【分析】本题考查了实数，非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握无理数的大小估算 是关键．． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据非负数的性质求出 x和 y值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ 2 22 8 3  ， ∴ 8的“共同体区间”为  2,3 ； 故答案为：  2,3 ； （2）解： 2 6 5 0x y    2 6 0x   ， 5 0y   3x  ， 5y     1 3 5 1 18x y      2 24 18 5  18 的“共同体区间”为  4,5  1x y  的“共同体区间”为  4,5 ． 10．(1)D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (2)1712 【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键． （1） 22 7 是正分数，是有理数； （2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可． 【详解】（1）解： 22 7 是正分数，是有理数． 故选：D； （2）解： 7 32 5 2   ， 首次利用“调日法”后得到 2的一个更为精确的近似分数为 7 3 10 5 2 7    ． 10 100 7 49  且 100 2 49  ， 7 102 5 7    ， 再次利用“调日法”后得到 2的一个更为精确的近似分数为 7 10 17 5 7 12    ， 2 的近似分数为 17 12 ． 11．(1)15，18； (2)画图见解析， 230 15.17 ． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算方法是解题的关键． （1）估算出 249， 360即可得到答案； （ 2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】（1）解：∵15 249 16  ， ∴ 249的整数部分为15， ∵18 360 19  ， ∴ 360的整数部分为18， 故答案为：15，18； （2）解：∵15 230 16  ， ∴可设 230 15 x  ，其中0 1x  ，画出示意图，如图所示， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 根据示意图，可得图中正方形的面积 22 2 1515S x x  正方形 ， 又∵ 230S 正方形 ， ∴ 2 215 2 15 230x x    ， 由 2 1x  ，可忽略 2x ， ∴225 30 230x  ，得到 0.17x  ，即 230 15.17 ． 12．(1) (4,5)， ( 5, 4)  (2) (3, 4) 【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出 x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ 2 24 17 5 ＜ ， ∴ 17 的“青一区间”为 (4,5)； ∵ 2 24 23 5  ， ∴ 23 的“青一区间”为 ( 5, 4)  ； 故答案为： (4,5)， ( 5, 4)  ； （2）解：因为 23 2025 ( 4) 2025x y     ， 所以 23 2025 ( 4) 2025x y     ， 即 23 ( 4) 0x y    ， 所以 3, 4x y  ，所以 12xy  ． 因为 2 23 12 4  ，所以 xy的“青一区间”为 (3, 4)． 13．(1)3； 26 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (2) 1 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求一个数的平方根．解题的关键是理解题意，掌握估 算无理数大小的方法，正确计算． （1）先根据无理数的大小估算办法估算即可． （2）先根据无理数的大小估算办法估算，然后再计算实数的混合运算，最后再求平方根即可． 【详解】（1）解：因为9 10 16  ， 所以3 10 4  ， 所以[ 10] 3 ， 因为25 26 36  ， 所以5 26 6  ， 所以{ 26} 26 5  （2）解：因为1 3 2  ， 所以 2 3 1     ， 所以5 4 3 6, 2 4 3 3      ， 所以{4 3} 4 3 5 3 1,{4 3} 4 3 2 2 3            ， 所以{4 3} {4 3} 3 1 2 3 1        ， 所以{4 3} {4 3}   的平方根为 1 ． 14．(1)2 (2)56.5的算术平方根在 7和 8之间， 56.5更接近 8 (3)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）比较 1.5的平方和 2.5的大小即可得解； （2）观察 56.5在哪两个连续整数之间，再计算这两个连续整数的中间值的平方和 56.5的大小 即可得解； （3）由前述两问可猜想若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两 个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近，再根据前面思路证明 即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】（1）解： 21.5 2.25 ， 21.6 2.56 ， 1.5 2.5 1.6   ， 2.5 的算术平方根与整数 2更接近， 故答案为：2； （2）解： 27 49 ， 28 64 ，且 49 56.5 64  ， 56.5 的算术平方根在整数 7和 8之间， 27.5 56.25 ， 27.6 57.76 ，且 56.25 56.5 56.75  ， 7.5 56.5 7.6   ， 56.5 的算术平方根与整数 8更接近； （3）解：猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻 整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近； 证明：设 1(a x a a   、 x均大于 0)，且 2 2 2( 1) 1 2 2 a ax a a     ， 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) 2 2 4 2 a a a a a a a          ， x 的算术平方根与 1a  更接近．