难点02 解三角形的最值范围与图形类问题（八大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

难点02 解三角形的最值范围与图形类问题 热点一 利用基本不等式求周长面积的最值范围 例1．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 例2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求△ABC的面积S的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由题意可得， 因为， 所以． 因为，所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 可得， 即． （2）由（1）知；且， 由余弦定理得， 整理得， 解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）． 从而， 即△ABC面积S的最小值为． 变式1-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 变式1-2．在中，角、、的对边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，此时为等边三角形． 变式1-3．在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为. 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 热点二 求角度有关的最值范围 例3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 则，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，则，又由，得 因此 由，得， 则，则， 所以的取值范围为. 例4．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据， 结合余弦定理， 得，即， 由正弦定理化简， 得， 其中， 所以， 结合、为三角形的内角， 可得，即， 因为为锐角三角形，所以，即， 解得， 而 ， 因为， 所以， 即的取值范围为． 故选：B． 变式2-1．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，即． 因为，所以． （2）因为，所以，所以， 则． 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，则， 即的取值范围是． 变式2-2．在锐角中，内角对边分别为，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 所以，即， 又，所以， 因为，所以； （2）由（1）知 ， 因为， ，， ， ，即的取值范围为． 变式2-3．在锐角三角形中，角对应的边分别记为. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可得：， 而，所以， 又，所以，那么，所以. （2）由题意可知， 因为锐角三角形中，，所以， 所以，所以 所以取值范围是. 利用角的关系进行统一角，利用统一角的范围求出所求的范围 热点三 转成角的最值范围 例5．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】依题意， ， 则， ， 其中， 所以当时，取得最大值为. 故选：B 【点睛】在求解三角函数有关题目的过程中，遇到正切时，可将其转化为正弦和余弦来进行求解.求解三角形有关的最值或范围问题，可利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换等知识进行化简，再根据三角函数值域的知识进行求解. 例6．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有， 所以， 整理得，即， 显然不合题设，则， 所以，而，可得. （2）由，可得，， 所以， 由（1）知：，则 ， 由，则，又的最大值为， 所以，可得（负值舍）， 综上，. 变式3-1．在中，，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，，可得， 则，且，即， 所以 ，其中， 当，即时，取得最大值. 故答案为：. 变式3-2．已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得， 可得，即， 又因为，可得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，可得， 因为，由正弦定理可得，则， 所以 ，其中， 因为，可得， 所以，当时，，此时取得最大值，最大值为. 变式3-3．记的内角的对边分别为，已知的面积． (1)求； (2)若，求； (3)若，且存在最大值，求正数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由已知可得， 因为，所以， 所以． 由余弦定理可得， 所以． （2）因为，所以， 又因为，所以， 于是， 由正弦定理得． （3）因为，且，所以， 所以 ，其中． 要使得存在最大值，则能取到，因为， 所以，于是，所以， 于是，解得． 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 热点四 多边形问题 例7．在中，，，，为边上一点，且，则 【答案】 【详解】如图， 在中，由余弦定理得， 又，则， 在中，由正弦定理得， 所以，. 故答案为：. 例8．在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理得； （2）在中，由正弦定理得， 所以，又为三角形的内角，所以， 所以，，且， 所以，又， 在中，由余弦定理得 ，所以. 变式4-1．在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 中，， 两式相加得，则， 两边平方后得，① 根据余弦定理可知，， 即，得， 两边平方后，，② ①式两边乘以4后得， ③， ，即， 当时，的最大值为， 所以四边形的面积取得最大值为. 故选：C 变式4-2．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 变式4-3．在中，角所对的边分别为，，，且. (1)求; (2)已知，为边上的一点，若，，求的长. 【答案】(1); (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以，，，所以，, 因为，所以. （2）因为，，， 根据余弦定理得: ，∴. 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解 热点五 多边形中的最值范围 例9．已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为 ． 【答案】 【详解】四边形中，，， 设与面积分别为，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 即， 在中，利用余弦定理：， 即， 所以． 则 ， 当，即时，最大值，最大值为， 故答案为： 例10．如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 变式5-1．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为 . 【答案】 【详解】法一：过点D作，交延长线于点E. 令， 因为，，所以，，， 故，. 故， 当且仅当，即时，等号成立. 法二：令，则， . 故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 变式5-2．如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. （2）在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 变式5-3．已知四边形内接于，若，，． (1)求线段的长． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题知，，所以， 根据余弦定理，， 即，． 所以，所以． 所以． （2）因为 所以，所以（当且仅当时取等号） 又, 所以． 热点六 中线问题 例11．（多选）已知的内角的对边分别为为的中点，，则（   ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【详解】因为为的中点，所以，则，A正确． 由余弦定理得，则，B正确． 由，得，所以，C错误． 由，得，则，D正确． 故选：ABD 例12．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，为AC边的中点，求BD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得， 由于， 故， 所以， 因为，所以，故，， 因为，所以； （2）为AC边的中点，故， 两边平方得， 又，，，所以，故. 变式6-1．在中，，D为的中点，，的面积为，则 ． 【答案】 【详解】由，可得， 所以， ， ∴， 所以， 由平行四边形的对角线性质可知， ， ∴， 由余弦定理可得， ， ， 解可得. 故答案为：. 变式6-2．记的内角，，的对边分别，，，已知． (1)求； (2)设是边中点，若，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得，又， 则，而， 化简得，即，而，因此， 所以. （2）在中，由，得，， 由正弦定理，得，由是边中点，得， 则，因此， 在中，由正弦定理，得. 变式6-3．已知中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，得， 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得到， 又，， 所以，整理可得， 解得或（舍去） 所以的面积. 若是的中线，则 方法一：向量法； 方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 热点七 与中线有关的最值范围 例13．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在中，由余弦定理可得． 由平面向量数量积的定义可得， 在锐角中，点是线段的中点，则， 所以 ． 由及正弦定理，得，， 所以 ． 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，所以， 所以，所以． 所以线段的长的取值范围为． 故答案为：． 例14．在中，内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)设为边的中点，，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由， 得(*). 因为，所以， 由正弦定理，得， 代入（*）得，. 由正弦定理，得， 由余弦定理的推论，得. （2）由余弦定理，得，即， 所以，当且仅当时等号成立，故得. 又，两边平方可得， ， 所以，即线段长度的最大值为. 变式7-1．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 变式7-2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角的大小； (2)若点是边中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 即， 由正弦定理，得，即， 所以， 因为，所以. （2）因为， 即， 所以， 由，所以， 所以，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 即面积的最大值为. 变式7-3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， (1)求角的大小； (2)若为BC中点，，求的面积的最大值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）及，，所以. 由余弦定理得：.    . （2）AD为中线，，， 两边平方，有， （当且仅当时取等号）， . 所以：. 热点八 角平分线问题 例15．在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等， 因为，设，则， 由可得， 可得， 在中，由余弦定理可得 ，故， 由正弦定理可得，所以，， 易知为锐角，则， 所以，. 故选：A. 例16．的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； (2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 在中，有，所以， 即， 所以，即， 因为，，所以，或（舍去）， 所以. （2）平分， 的面积是面积的2倍， ，即， 设AB边上的高为h，又，即， ，，，. 以下有不同解法. 解法一： ，， 即，. 解法二： 在中由余弦定理得，，即① 由.则，又， ，即②. 由①②联立得，. 解法三： 在中由正弦定理得， 又，， ， ，又A为中较小的角，，，则，. 变式8-1．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，点D是BC上的点，AD平分∠BAC.若AD＝2，则△ABC的面积为 . 【答案】/ 【详解】在△ABC中，设、、的对边分别为， 在△ABC中，由余弦定理可得：，   ① 因为，所以，    ② ②平方得：，   ③ 联立①③可得：， 所以. 故答案为： 变式8-2．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且满足 (1)求角C; (2)若，，CD平分交AB于点D，求CD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理，又，所以； （2）在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 又，， 所以，解得. 变式8-3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若平分，且的面积为，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，， 因为为的中点，所以， 两边平方得， 则，解得， 由余弦定理， 所以. （2）因为平分，所以， 又， 即 所以， 解得，. 若是的角平分线，则有：①等面积法；② 1．（2022·23高一下·广西南宁·期末）已知，， ，AD平分交BC于点D，则 ． 【答案】 【详解】因为中，， ， 所以， 整理得，解得,（舍负）． AD平分，则， 由，得， 即， 整理得，所以． 故答案为：． 2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 3．（2024·25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 4．（2024·25高三上·江苏淮安·阶段练习）在中，．则的最大值是 ． 【答案】1 【详解】， 即， 又，故， ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值，最大值为1. 故答案为：1 三、多选题 5．（2024·新疆·模拟预测）在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2), 【详解】（1）由余弦定理可得， 进而可得，解得或（舍去）， （2）由余弦定理可得， 由于 由题意知，设，则，则， 如图所示， 由可得， 所以,解得， 由是边上的中线，得 . 所以，中线长. 6．（2024·25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若是的中线，且，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵，∴. ∴，即. （2）∵由题意得， ∴. ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， 由余弦定理得， ∴. ∴的周长为. 7．（2024·25高三下·河北沧州·阶段练习）记的内角的对边分别为，的面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则，又， 所以. （2）由及余弦定理，得，则， 整理得，解得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6. 8．（2023 24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，是的三个内角，若向量，，且. (1)求证：； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由， 即， 故， 整理得， ，即； （2） =. 为三角形的内角，，即 ，当且仅当时等号成立， 故 的最大值为. 9．（2024·25高三下·湖北·开学考试）在矩形中，点在线段上，且. (1)求； (2)若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）过作于，设，易知， 则，由， 整理得到，解得或（舍），所以. （2）由（1）易知，，设， 又， 得到，在中，由余弦定理得到， 所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 10．（2024·25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，即， 所以，而，故， 又，则，故. （2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系， 则，，，故， 所以 ，当时取最大值为. 11．（2024·25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． (1)求角; (2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理可得， 即，所以， 又，所以，所以，即， 又，所以； （2）在和中，由正弦定理可得，， 设，，则，，， 故两式相除可得， 即， 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 难点02 解三角形的最值范围与图形类问题 热点一 利用基本不等式求周长面积的最值范围 例1．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 例2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求△ABC的面积S的最小值． 变式1-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 变式1-2．在中，角、、的对边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 变式1-3．在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 热点二 求角度有关的最值范围 例3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求的取值范围. 例4．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)求的取值范围． 变式2-2．在锐角中，内角对边分别为，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 变式2-3．在锐角三角形中，角对应的边分别记为. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 利用角的关系进行统一角，利用统一角的范围求出所求的范围 热点三 转成角的最值范围 例5．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．3 例6．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 变式3-1．在中，，，则的最大值为 ． 变式3-2．已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的最大值. 变式3-3．记的内角的对边分别为，已知的面积． (1)求； (2)若，求； (3)若，且存在最大值，求正数的取值范围． 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 热点四 多边形问题 例7．在中，，，，为边上一点，且，则 例8．在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 变式4-1．在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．在中，角所对的边分别为，，，且. (1)求; (2)已知，为边上的一点，若，，求的长. 将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解 热点五 多边形中的最值范围 例9．已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为 ． 例10．如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 变式5-1．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为 . 变式5-2．如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 变式5-3．已知四边形内接于，若，，． (1)求线段的长． (2)若，求的取值范围． 热点六 中线问题 例11．（多选）已知的内角的对边分别为为的中点，，则（   ） A． B． C．的面积为 D． 例12．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，为AC边的中点，求BD的长. 变式6-1．在中，，D为的中点，，的面积为，则 ． 变式6-2．记的内角，，的对边分别，，，已知． (1)求； (2)设是边中点，若，求． 变式6-3．已知中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，，求的面积. 若是的中线，则 方法一：向量法； 方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 热点七 与中线有关的最值范围 例13．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ． 例14．在中，内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)设为边的中点，，求线段长度的最大值. 变式7-1．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 变式7-2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角的大小； (2)若点是边中点，且，求面积的最大值. 变式7-3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， (1)求角的大小； (2)若为BC中点，，求的面积的最大值 热点八 角平分线问题 例15．在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A． B． C． D． 例16．的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； (2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求. 变式8-1．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，点D是BC上的点，AD平分∠BAC.若AD＝2，则△ABC的面积为 . 变式8-2．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且满足 (1)求角C; (2)若，，CD平分交AB于点D，求CD的长. 变式8-3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若平分，且的面积为，求的长． 若是的角平分线，则有：①等面积法；② 1．（2022·23高一下·广西南宁·期末）已知，， ，AD平分交BC于点D，则 ． 2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 4．（2024·25高三上·江苏淮安·阶段练习）在中，．则的最大值是 ． 5．（2024·新疆·模拟预测）在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，． (1)求； (2)求的长． 6．（2024·25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若是的中线，且，的面积为，求的周长． 7．（2024·25高三下·河北沧州·阶段练习）记的内角的对边分别为，的面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 8．（2023 24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，是的三个内角，若向量，，且. (1)求证：； (2)求的最大值. 9．（2024·25高三下·湖北·开学考试）在矩形中，点在线段上，且. (1)求； (2)若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值. 10．（2024·25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 11．（2024·25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． (1)求角; (2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$