精品解析： 天津市西青区为明学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年天津市西青区为明学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列选项中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 3. 使式子成立的条件是(　　) A. a≥5 B. a＞5 C. 0≤a≤5 D. 0≤a＜5 4. 下列各式成立的是(　　) A. ＝＝ B. ＝ C. ＝× D. ＝ 5. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 平行四边形中，，则 的度数为( ) A. B. C. D. 8. 如图，矩形 中，对角线 交于O点．若，，则 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 9. 点是矩形的对角线的中点， 是边的中点， ，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形 是菱形 B. 当时，平行四边形 是矩形 C. 当时，平行四边形 是菱形 D. 当 且时，平行四边形 是正方形 11. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与 于点F； ④连接 ． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，，，线段的两个端点分别在边 上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________. 15. 如图，，则数轴上点B所表示的数是____________ 16. 如图，四边形 的对角线，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个） 17. 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是______． 18. 如图，在菱形 中，，与 交于点 ， 为 延长线上的一点，且 ，连接分别交，于点 ，，连接，则下列结论中一定成立的是__________． ①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、 构成的四边形是菱形 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为　 　； （2）求图中格点△ABC的面积； （3）判断格点△ABC的形状，并说明理由． （4）在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值是　 　． 21. 如图，在中，，，， 的垂直平分线分别交、于点、 ， （1）求的长度； （2）求的长． 22. 如图，在中，，是中线， 是的外角的平分线，，垂足为 ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）与之间的关系是什么？请说明理由． 23. 如图，中， ，是斜边 的中点，若 ，，且交于点，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 24. 如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： （1）AD＝______cm，BC＝______cm． （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 25. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF. （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系， ②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年天津市西青区为明学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列选项中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答． 【详解】解：A．的被开方数是分数，故不是最简二次根式； B．的被开方数，则被开方数中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．的被开方数，则被开方数中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； 故选：C． 2. 下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 3. 使式子成立的条件是(　　) A. a≥5 B. a＞5 C. 0≤a≤5 D. 0≤a＜5 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：a＞5． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，难度不大，注意掌握分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数． 4. 下列各式成立的是(　　) A. ＝＝ B. ＝ C. ＝× D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】根据商的算术平方根的性质 （a≥0，b>0）解答即可. 【详解】A. ＝＝ ，正确； B. ∵ ＝ ，故不正确； C. ＝＝ ，故不正确； D. ＝，故不正确； 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握商的算术平方根的性质是解答本题的关键.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 （a≥0，b>0）. 5. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得: ， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 6. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含 角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含 角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：， 米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 7. 平行四边形中，，则 的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，矩形中，对角线 交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定 是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 9. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点， ，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知， ，根据三角形中位线的性质可知，利用勾股定理可求 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求的长度． 【详解】解： 在矩形中， ， ， ， 又 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，， ， ， 点为的中点，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的性质求出相关线段之间的关系． 10. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当 且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 11. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分 ，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分 ，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 12. 如图，中，，，，线段的两个端点 分别在边 上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴ ， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________. 【答案】96 【解析】 【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AC=12， ∴AO=6， ∵AB=10， ∴BO==8， ∴BD=16， ∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 15. 如图，，则数轴上点B所表示的数是____________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确理解相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 16. 如图，四边形的对角线，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个） 【答案】菱形 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，进一步可得同理可得又根据即可得进一步即可得证． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴ 同理可证 又∵， ∴ ∴四边形EFGH是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 17. 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，分两种情况，一是沿长方体正面、右侧面爬行，二是沿长方体底面、后侧面爬行，将长方体展开，连接，用勾股定理求出，比较大小即可得到最短路程． 【详解】解：分两种情况： ①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在 中，由勾股定理得：； ②如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在 中，由勾股定理得：； ， 爬行的最短路程是， 故答案为：25． 18. 如图，在菱形中，，与交于点 ，为延长线上的一点，且 ，连接分别交，于点 ，，连接，则下列结论中一定成立的是__________． ①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形 【答案】①④ 【解析】 【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=CD=AB，①正确； 先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确； 由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确； 证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD=DE， ∴AB=DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG=DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG=CD=AB，①正确； ∵AB∥CE，AB=DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB=BD=AD，∠ODC=60°， ∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG， 在△ABG和△DCO中， ， ∴△ABG≌△DCO（SAS）， ∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确； ∵OB=OD，AG=DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG∥AB，OG=AB， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF， ∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1， ∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍， 又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积， ∴S四边形ODGF=S△ABF；③不正确； 正确的是①④． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，进行二次根式的混合运算首先要把二次根式化为最简二次根式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可； 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再去括号、合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可； 首先根据完全平方公式展开，可得：原式，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为　 　； （2）求图中格点△ABC的面积； （3）判断格点△ABC的形状，并说明理由． （4）在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值是　 　． 【答案】（1）（0，0）；（2）5；（3）△ABC是直角三角形，理由见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）首先根据A和C的坐标确定坐标轴的位置，然后确定B的坐标； （2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解； （3）利用勾股定理的逆定理即可作出判断； （4）作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC，依据轴对称图形的性质可得到PC＝PC′，然后依据两点之间线段最短可知当点A，P，C′在一条直线上时，AP+PC有最小值． 【详解】解：（1）B的坐标是（0，0）． 故答案是（0，0）； （2）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝5， （3）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． （4）如图1所示：作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC． ∵点C与点C′关于x轴对称， ∴PC＝PC′． ∴AP+PC＝AP+PC． ∴当A，P，C′在一条直线上时，AP+PC有最小值，最小值为AC′的长． ∵AC′＝＝． ∴AP+PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了格点作图的问题，掌握平面直角坐标系的性质、矩形的面积公式、三角形面积公式、勾股定理的逆定理、轴对称图形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， （1）求的长度； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴． 【小问2详解】 解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在 中， ∵， ∴， 解得． ∴． 22. 如图，在中，，是中线， 是的外角的平分线，，垂足为． （1）求证：四边形 是矩形； （2）与之间的关系是什么？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2） ，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角 的平分线，可得出，又由 即可得到 ，然后根据矩形的判断即可得证； （2）利用矩形的性质可求 ，根据三角形中线可得，得出是的中位线，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：中，，是中线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形 是矩形； 【小问2详解】 解： ，，理由如下： 由（1）知，四边形 为矩形， ， 中，是中线， ， 是的中位线， ，． 23. 如图，中， ，是斜边的中点，若 ，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】（1） 证明：∵ ，， ∴四边形 是平行四边形． ∴，且 ． ∵是斜边的中点， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，可得四边形 是平行四边形，得出，且 ，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含 角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）知，四边形是菱形，四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴菱形的面积， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 24. 如图1，在四边形ABCD中， ，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： （1）AD＝______cm，BC＝______cm． （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1）6，8 （2）当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形 （3）当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负即可求出a，则b可求，问题得解； （2）根据题意可知AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm，则BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，根据 ，∠B=90°，可得四边形PQBA是矩形，依据AP＝BQ时列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，可得，再求出Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒，即根据题意可知AP＝0.5tcm，AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ，据此列方程．由于Q点在BC间往复运动，Q点走完6cm的距离所需时间为3秒，即以3秒为一个阶段分情况讨论：①当0＜t≤3时，②当3＜t≤6时，③当6＜t≤9时，④当9＜t≤12时，以上四种情况，均根据PD＝BQ，列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴， ∴a＝6，b＝8， ∴AD＝6cm，BC＝8cm， 故答案为：6，8； 【小问2详解】 解：根据题意可知：AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm， ∴BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm， 当AP＝BQ时，根据 可知，四边形ABQP是平行四边形， 又∵∠B=90°， ∴四边形PQBA是矩形， ∴根据AP＝BQ，有0.5x＝8﹣2x， 解得x＝3.2， 答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形； 【小问3详解】 解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm， ∴时间， ∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm， ∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm， ∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒， 根据题意可知：AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm， ∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm， 当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ， ①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0（不符合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（2t﹣18）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得t＝9.6． 综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，一元一次方程在几何中的应用等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 25. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF. （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系， ②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由. 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析（3）①见解析；②见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD； （2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形． 【详解】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴BD⊥CF； ②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF， ∵BD=BC-CD， ∴CF=BC-CD； （2）与（1）同理可得BD=CF， 所以，CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得，BD=CF， 所以，CF=CD-BC； ②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°-45°=135°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°， 则△FCD为直角三角形， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴OC=DF， ∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF， ∴OC=OA， ∴△AOC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $