精品解析：湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1.本卷共6页，24题，满分120分，考试用时120分钟． 2.答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4.答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5.认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值是0的条件．分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 2. 我国是一个历史悠久的多民族国家．针对各民族的特色元素，某设计师设计了56幅“似图似字”的图案．在下面四幅图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，正确， 故A合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，不是同类项，无法计算，错误， ∴D不合题意． 故选：A． 4. 直角坐标系中，与点E关于y轴对称的点是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点，关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据这一特点就可以得到正确选项． 【详解】解：点关于y轴对称的点是． 故选：B． 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，等式错误，不符合题意； B、，等式正确，符合题意； C、，等式错误，不符合题意； D、，等式错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7. 从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（　　） A. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C. （a+b）2＝a2+2ab+b2 D. a2+2ab+b2＝（a+b）2 【答案】A 【解析】 【分析】根据图1可知图形的面积为（a+b）（a﹣b），由图2可知图形的面积为a2﹣b2，进而问题可求解． 【详解】解：由图1可知图形的面积为（a+b）（a﹣b），由图2可知图形的面积为a2﹣b2， ∴从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故选A． 【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是根据图形得到平方差公式． 8. 小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据走路线B的全程比走路线A少用15分钟列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 9. 如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 10. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知，…若，则（ ） A. 21 B. 20 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数字类规律，根据，推出，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 甲型流感病毒的直径约为0.00009微米，用科学记数法表示这个数应为_________微米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.00009用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 14. 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 __________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 15. 如图，在等腰中，，，是边上中线，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为2；④．其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．①连接，证明，可以得出结论正确；②根据两三角形全等时面积也相等得：，利用割补法知：，是定点，所以△的面积是定值，即四边形的面积保持不变；③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，可以得出结论正确；④根据，判断即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是边上的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形；故①正确； ∴， ， ， ． 四边形的面积保持不变；故②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为，故③错误； ④∵，且， ∴．故④正确； 故答案为：①②④． 16. 如图，中，，，点D为中点，，F为中点，则的最小值是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先取的中点，连接，再运用证明，故，则，，证明是等边三角形，根据，得的最小值是6，即可作答． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则， ∴的最小值是6． 故答案为：6． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，在因式分解中，识别公因式和熟悉各种公式（如完全平方公式）是关键．通过提取公因式和应用适当的公式，可以有效地简化多项式，使其分解为更简单的因式乘积形式． （1）直接提取作为公因式进行因式分解即可； （2）先提取，接着将变成完全平方公式的形式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 18. 如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 19. 先化简分式，再从中选一个合适的整数求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴ 又∵中的整数， ∴，则原式． 20. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题： （1）把代入分式方程，去分母将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 把代入分式方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 分式方程变形得 去分母得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时，∵分式方程无解， 分母为0得：，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，作出的中线； （2）在图1中，作出的角平分线； （3）在图1中，M为线段上一点，在线段上找一点N，使得； （4）在图2中，将绕点B 逆时针旋转一定角度得，使与对应，与对应，且，作出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可； （2）取点右侧第二个格点，连接，取的中点，连接与中点的线段，与的交点即为点； （3）连接交于点，连接并延长，交于点，即可； （4）过点作，且，取格点，连接，取格点，连接，，的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； ∵， ∴为等腰三角形， 由三线合一可知：平分； 【小问3详解】 如图，点即为所求； 由对称性可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 如图，即为所求； 由图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22. 2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． （1）求这项工程的规定工期是多少天？ （2）在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】（1）120天 （2）当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； 【小问2详解】 解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 23. （1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）过点P作交于点F，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，得出，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （3）分两种情况讨论：当点E在射线上时，当点E在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）证明：过点P作交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在射线上时，作，交于点，作，交于点E，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴此时； 当点E在射线上时，过点P，作于点G，作于点H，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24. 在平面直角坐标系中，已知顶点，且满足，点C在y轴上． （1）直接写出A，B两点的坐标：A ，B ； （2）如图1，当为等边三角形时，，点P为线段上的一个动点，以为边作等边，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q所经过的路径长； （3）如图2点D为内一点，连接，，，当，，时，求的度数． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到，得到，解答即可； （2）取中点M，连接，证明即可求解； （3）延长交y轴于点E，连接，利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：由得到， 解得， 故，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：取中点M，连接， ∵M为中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， 又点P在C处时， 点PO处时，点Q与点M重合 ∴点Q所经过的路径长． 【小问3详解】 解：延长交y轴于点E，连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了实数的非负性，图形与坐标系，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1.本卷共6页，24题，满分120分，考试用时120分钟． 2.答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4.答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5.认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 2. 我国是一个历史悠久的多民族国家．针对各民族的特色元素，某设计师设计了56幅“似图似字”的图案．在下面四幅图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 直角坐标系中，与点E关于y轴对称的点是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 从图1到图2变化过程可以发现的结论是（　　） A. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C. （a+b）2＝a2+2ab+b2 D. a2+2ab+b2＝（a+b）2 8. 小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知，…若，则（ ） A. 21 B. 20 C. 11 D. 10 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 计算：_________． 12. 甲型流感病毒的直径约为0.00009微米，用科学记数法表示这个数应为_________微米． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 14. 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 __________． 15. 如图，在等腰中，，，是边上中线，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为2；④．其中正确结论的序号是_________． 16. 如图，中，，，点D为中点，，F为中点，则的最小值是_________． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，已知，，，求证：． 19. 先化简分式，再从中选一个合适的整数求值． 20. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，作出的中线； （2）在图1中，作出的角平分线； （3）在图1中，M线段上一点，在线段上找一点N，使得； （4）在图2中，将绕点B 逆时针旋转一定角度得，使与对应，与对应，且，作出． 22. 2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． （1）求这项工程的规定工期是多少天？ （2）在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 23. （1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰中，，，P边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 24. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，且满足，点C在y轴上． （1）直接写出A，B两点的坐标：A ，B ； （2）如图1，当为等边三角形时，，点P为线段上的一个动点，以为边作等边，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q所经过的路径长； （3）如图2点D为内一点，连接，，，当，，时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $