精品解析：江苏省宿迁中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题(实验部)

2024-2025学年度第一学期高二年级期末考试 数学试卷（实验部） 试卷满分（150分）考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程是 ． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程. 【详解】设与直线垂直直线为： 代入可得：，解得： 所求直线方程为：，即 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题. 2. 已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 3. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 4. 如图.空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 5. 已知函数，则的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，，所以在单调递增，则B、D错误； 当时，，，则在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A． 点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象．由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象．图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项． 6. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 21 B. 19 C. 13 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率公式，以及椭圆和双曲线的焦点公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，解得，所以． 故选：B． 7. 在等比数列中，是函数的极值点，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过函数求导得出极值点所满足的方程，利用韦达定理得到与的乘积和和，再根据等比数列的性质求出的值，结合的正负确定的值. 【详解】已知，对求导可得. 因为，是函数的极值点，所以，是方程的两个根.  所以，. 所以，则.  由，且，可知与同号， 又因为，所以，.在等比数列中，奇数项的符号相同， 所以，因此.  故选：D. 8. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量，满足 C. 若为空间一个基底，且，则四点共面 D. 直线的方向向量平面的法向量，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A根据共线向量定理即可判断，对于B根据数量积的运算律即可判断，对于C得即可判断，对于D先验算即可判断. 【详解】对于A：因为非零向量，，所以存在实数，使得，故A正确； 对于B：根据数列积运算律有，故B正确； 对于C：若为空间一个基底，， 即，所以四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以或，故D错误， 故选：ABC. 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确； 对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 11. 已知，则（ ） A. 存在唯一的，使得与轴相切 B. 存在2不同的，使得在轴和轴上截得的线段相等 C. 存在2个不同的，使得过坐标原点 D. 存在唯一的，使得的面积被直线平分 【答案】CD 【解析】 【分析】由方程的解，可判定A错误；由圆在两坐标轴上的截的弦长度相等，求得， 结合弦长公式，得到，令，利用导数求得函数零点，可判定B错误； 由，结合与有两个交点，可判定C正确； 根据圆心满足直线方程，令，利用导数求得函数的单调性，结合，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 即圆心在曲线上运动， 对于A中，若与轴相切，则，解得或，所以A错误； 对于B中，若在两坐标轴上的截的线段长度相等，则，解得， 截轴所得弦长为，截轴所得弦长为， 可得，可得， 令，其中， 则， 所以函数在上单调递减，在上单递增， 所以，当时，， 所以函数在上无零点，函数在上只有一个零点，所以B错误； 对于C中，若过原点，则， 由图象知，与有两个交点，所以满足要求的有2个，所以C正确； 对于D中，若圆的面积被直线 平分，则圆心满足直线方程， 因为圆心，代入直线方程可得，其中， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，所以方程只有一个解， 所以存在唯一的，使得的面积被直线 平分，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的导函数，把带入即可. 【详解】，所以. 故答案为： 【点睛】要注意复合函数求导法则. 13. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：______________． 【答案】（答案不唯一，或或或） 【解析】 【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为为，根据直线与两圆都相切可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出切线的方程. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为，如下图所示： 若切线的斜率不存在，考虑所求直线与圆相切，则切线方程为， 显然直线或均不与圆相切，不合乎题意， 所以，切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由直线与圆相切可得， 解得或或或， 所以，直线的方程为或或或. 故答案为：（答案不唯一，或或或）. 14. 若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得. 【小问1详解】 设的公差为，因为是的等比中项，故， 即， 整理得：，又，故可得； 又，即，故，， 解得，，； 故，. 【小问2详解】 由（1）可知，，故， 故 故数列的前项和. 16. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程相同，设双曲线的方程为且，将所过点代入求参数即可； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理表示出线段AB的中点坐标，结合点在圆上求参数即可. 【小问1详解】 设双曲线的方程为且， 将代入，得，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由，得， 设，则中点坐标， 由韦达定理可得，所以， 所以中点坐标为，且在圆上， 所以，解得． 17. 在平面直角坐标系中，存在四点． （1）求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】（1），D在圆M内 （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【小问1详解】 设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； 【小问2详解】 由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 18. 对每个正整数是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点． （1）证明：； （2）取，并记，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设直线，联立方程结合韦达定理分析证明； （2）根据抛物线的定义结合（1）可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：抛物线的焦点，且直线的斜率存在， 设直线， 联立方程，消去y得， 可得，所以. 【小问2详解】 因为，由（1）可得， 则， 可得， 设数列的前项和为， 则 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求. 19. 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，记的最小值为，证明：． 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由题意可得的定义域为,求出的导函数,通过判断导函数的符号即可判断的单调性； （2）先结合（1）得到，解法一：先求导，，再根据导数性质求得，进而即可证明；解法二：根据题意可得要证，即证，从而构造函数，求导，再根据导数的性质求得，进而即可证明． 【小问1详解】 依题意可得的定义域为， 由， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时， 若，，此时单调递减； 若，，此时单调递增； 综上， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知，，即． 解法一： 则， 则，所以单调递减， 又，，所以存在，使得， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以， 又，即，即， 所以， 显然在上单调递增， 又，所以，即． 解法二： 要证，即证，即证，即证， 令，则， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期高二年级期末考试 数学试卷（实验部） 试卷满分（150分）考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程是 ． A. B. C. D. 2. 已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图.空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的大致图象为 A. B. C. D. 6. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 21 B. 19 C. 13 D. 11 7. 在等比数列中，是函数的极值点，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 8. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量，满足 C. 若为空间一个基底，且，则四点共面 D. 直线方向向量平面的法向量，则 10. 已知，是椭圆两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 11. 已知，则（ ） A. 存在唯一的，使得与轴相切 B. 存在2不同，使得在轴和轴上截得的线段相等 C. 存在2个不同的，使得过坐标原点 D. 存在唯一的，使得的面积被直线平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则____________. 13. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：______________． 14. 若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为0等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 17. 在平面直角坐标系中，存在四点． （1）求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 18. 对每个正整数是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点． （1）证明：； （2）取，并记，求数列的前项和． 19. 设函数，． （1）讨论单调性； （2）当时，记的最小值为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$